实用标准文案文档高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle);2.拉格朗日中值定理(lagrange);3.柯西中值定理(cauchy);还有经常用到的泰勒展开式(taylor),其中(,)ab，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。题型一：证明：()0nf基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。例1.()[,]fxCab在(,)ab可导，()()0fafb，()()02abfaf，证明：存在(,)ab，使得'()0f.分析：由()()0fafb，()()02abfaf，容易想到零点定理。证明：()()02abfaf，存在1(,)2abxa，使得1()0fx，又()()0fafb，(),()fafb同号，()()02abfbf，存在2(,)2abxb，使得2()0fx，12()()0fxfx，所以根据罗尔中值定理：存在(,)ab，使得'()0f.例2.()[0,3]fxC在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3fff，(3)1f，证明：存在(0,3)，使得'()0f证明：（1）()[0,3]fxC，()fx在[0,3]使得上有最大值和最小值,Mm，根据介值性定理(0)(1)(2)3fffmM，即1mM存在[0,3]c，使得()1fc，（2）()(3)1fcf，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c，使得'()0f.例3.()fx在(0,3)三阶可导，[0,1]x，(1)0f，3()()Fxxfx证明：存在(0,1)，使得'''()0F证明：（1）(0)(1)0FF，存在1(0,1)，使得1'()0F，实用标准文案文档（2）23'()3()'()Fxxfxxfx，所以1'(0)'()0FF，存在21(0,)，使得2''()0F，（3）223''()6()3'()3'()''()Fxxfxxfxxfxxfx，所以2''(0)''()0FF，存在2(0,)(0,1)，使得'''()0F，例3.()[0,1]fxC在(0,1)内可导，[0,1]x，(0)1f，11()22f，(1)2f证明：存在(0,1)，使得'()0f证明：(0)1f，11()22f，(1)2f存在(0,1)，使得()fm，又()fx在(0,1)内可导，存在(0,1)，使得'()0f题型二：证明：含，无其它字母基本思路，有三种方法：（1）还原法。''()[ln()]()fxfxfx能够化成这种形式例1.()[0,1]fxC在(0,1)可导，(1)0f，证明：存在(0,1)，使得'()3()0ff.分析：由3'()3'()3()00[ln()]'(ln)'0()fxxfxfxfxxfxx，3[ln()]'0xfx证明：令3()()xxfx，(0)(1)1存在(0,1)，使得'()0，而23'()3()'()0ff存在(0,1)，使得'()3()0ff例2.()[,]fxCab在(,)ab可导，()()0fafb，证明：存在(,)ab，使得'()2()0ff.分析：由2'()'()2()020[ln()]'(ln)'0()xfxfxfxfxefx，实用标准文案文档2[ln()]'0xfxe证明：令2()()xxfxe，()()0fafb，()()0ab存在(,)ab，使得'()0，而222'()2()'()[2()'()]0xxxxfxefxeefxfx2[2()'()]0eff即存在(,)ab，使得'()2()0ff例3.()fx在[0,1]上二阶可导，(0)(1)ff，证明：存在(0,1)，使得2'()''()1ff.分析：由22'()''()2''()0[ln'()]'[ln(1)]'01'()1fxfxfxfxxxfxx，2[ln'()(1)]'0fxx证明：令2()'()(1)xfxx，(0)(1)(0,1)ffc，使得'()0fc，所以2()'()(1)0cfcc，又因为(1)0()(1)0c由罗尔定理知，存在(0,1)，使得2'()''()1ff.记：①'()()kxfkfxefx②'()()kfkfxxfx（2）分组构造法。①''()()ff''()()0''()'()'()()0fxfxfxfxfxfx['()()]'['()()]0[]'[]0fxfxfxfxgg'10(ln)'(ln)'0()['()()]xxggexefxfxg②''()()10ff（还原法行不通）实用标准文案文档'['()1]'['()1]0'0()[()1]xfxfxggxefx例1.()[0,1]fxC，在(0,1)内可导，11(0)0,()1,(1)22fff，证明：①存在(0,1)c，使得()fcc，②存在(0,1)c，使得'()2[()]1ff.证明：①令()()xfxx，111(0)0,(),(1)2221()(1)02，1(,1)(0,1)2c使得()0c，即()fcc②（分析）'()2[()]1[()]'2[()]0fxfxxfxxfxx令2()[()]xhxefxx，(0)()0hhc存在(0,1)c，使得'()2[()]1ff.题型三：证明：含,.分几种情形：情形1：结论中只有'(),'()()ff找三句次Lagrange点两话两例1.()[0,1]fxC，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1ff，证明：①存在(0,1)c，使得()1fcc，②存在,(0,1)，使得'()'()1ff.证明：①令()()1xfxx，(0)1,(1)1(0)(1)0(0,1)c使得()1fcc②(0,),(,1)cc,使得()(0)1'()fcfcfcc(1)()'()11ffccfcc，所以存在,(0,1)，使得'()'()1ff例2.()[0,1]fxC，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1ff，证明：①存在(0,1)c，使得1()2fc，②存在,(0,1)，使得112'()'()ff.实用标准文案文档证明：①令1()()2xfx，11(0...
