专题25导数的应用【标题01】没有理解“0()0fx是0xx是极值点的必要非充分条件”【习题01】3221fxxaxbxax在处有极小值10，则ab.【经典错解】由题得2()32fxxaxb，所以2(1)320(1)110fabfaba.所以33ab或411ab，所以0ab或7ab.【详细正解】由题得2()32fxxaxb，所以2(1)320(1)110fabfaba.所以33ab或411ab.当33ab时，22()3633(1)0fxxxx，所以函数()fx是增函数，与题意不相符，所以舍去.经检验，411ab时，满足题意.所以7ab.【习题01针对训练】已知函数3()()fxxxm在2x处取得极小值，则常数m的值为（）A．2B．8C．2或8D．以上答案都不对【标题02】求函数的单调性时忽略了函数的定义域的研究【习题02】已知函数ln()1xfxx，试判断函数()fx的单调性.【经典错解】由已知得21ln()xfxx．令()0fx，得xe．因为当xe时，()0fx；当xe时，()0fx．所以函数()fx在(,)e上单调递增，在[,)e上单调递减．【详细正解】）函数()fx的定义域是(0,)．由已知21ln()xfxx．令()0fx，得xe．因为当0xe时，()0fx；当xe时，()0fx．所以函数()fx在(0,]e上单调递增，在[,)e上单调递减．【习题02针对训练】已知函数Raxxaxf,1ln)(．求)(xf的单调区间.【标题03】导函数及其单调性的关系理解不到位【习题03】设函数6531)(23xaxxxf在区间[1.3]上是单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．5,B．3,C．,3D．]5,5[【经典错解】根据题意2()250fxxax在区间1,3上恒成立，所以2()25fxxax的最大值小于零，因为函数开口向上，故最大值在区间端点处取得，所以，10,30ff，解得3a,所以选择C.【详细正解】根据题意2()250fxxax在区间1,3上恒成立，所以2()25fxxax的最大值小于或等于零，因为函数开口向上，故最大值在区间端点处取得，所以，10,30ff，解得3a,所以选择B.【深度剖析】（1）经典错解错在导函数及其单调性的关系理解不到位.（2）函数单调递减时，相应的导数值应该小于或等于零（等于零的点为有限个孤立点），不能写成导数小于零.错解漏掉了等号.【习题03针对训练】已知函数2()ln,afxxaRx．（1）若函数()fx在[2,)上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数()fx在[1,]e上的最小值为3，求实数a的值．【标题04】解题不规范没有严格按照教材的要求求函数的极值【习题04】设函数3()125,fxxxxR.（1）求)(xf的单调区间和极值；（2）若关于x的方程axf)(有3个不同实根，求实数a的取值范围.【经典错解】（1）2'()3123(2)(2)fxxxxQ令'()0fx得：122,2xx所以()fx的增区间是(,2)和(2,)，减区间是(2,2)；当2x时，()fx取得极大值，极大值(2)21f；当2x时，()fx取得极小值，极小值(2)11f.（2）由（1）得，作出函数()fx的草图如图所示：数形结合得实数a的取值范围是(11,21).【详细正解】（1）2'()3123(2)(2)fxxxxQ令'()0fx得：122,2xx当x变化时，'(),()fxfx的变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)'()fx00()fx增极大减极小增所以()fx的增区间是(,2)和(2,)，减区间是(2,2)；当2x时，()fx取得极大值，极大值(2)21f；当2x时，()fx取得极小值，极小值(2)11f.（2）由（1）得，作出函数()fx的草图如图所示：所以，实数a的取值范围是(11,21).【习题04针对训练】已知函数axaxxf(ln)(R）.（1）若曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线与直线01yx平行，求a的值；（2）在（1）条件下，求函数)(xf的单调区间和极值；（3）当1a，且1x时，证明：.1)(xf【标题05】对于函数的图像分析不透彻推理不严谨碰巧做对了【习题05】已知函数.ln)(,2)23ln()(xxgxxxf（1）求函数()fx的单调区间；（2）如果关于x的方程mxxg21)(有实数根，求实数m的取值集合；（3）是否存在正数k，使得关于x的方程)()(xkgxf有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.【经典错解】（1）函数)(xf的定义域是).,0()0,23(对)(xf求导得)23()3)(1(2231)(22xxxxxxxf由31230)(xxxf或，得，由.30010)(xxxf或，得因此)3)1,23(，和（是函数)(xf的增区间；(1,0)和(0,3)是函数)(xf的减区间.（2）因为.21ln21ln21)(xxmmxxmxxg所以实数m的取值范围就是函数xxx21ln)(的值域对.211)()(xxx求导得令0)(20;0)(220)(xxxxxx时，当时，，并且当，得∴当2x时)(x取得最大值，且.12ln)2()(maxx因此函数xxx21ln)(的值域...
