高中数学 2.5向量的应用（一）课时作业 苏教版必修4VIP免费

2.5向量的应用(一)课时目标经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔________⇔________________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔________⇔________________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝________________________＝________________________________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝________.2．直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为________，法向量为________．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为________，法向量为________．一、填空题1.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为______．2．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是________．3．已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5.则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝____.4．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的________．(从重心、垂心、外心、内心中选择)5．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是________．6．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是______三角形．7．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状一定是________三角形．8．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC＝λCE，其中λ＝________.9．已知非零向量AB与AC满足·BC＝0且·＝，则△ABC的形状是________三角形．10．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的角平分线上且|OC|＝2，则OC＝__________________.二、解答题11．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的角平分线的方程．12．P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF.能力提升13．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的________．①重心、外心、垂心；②重心、外心、内心；③外心、重心、垂心；④外心、重心、内心．(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)14．求证：△ABC的三条高线交于一点．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2(λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1)．②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．§2.5向量的应用(一)知识梳理1．(1)a＝λbx1y2－x2y1＝0(2)a·b＝0x1x2＋y1y2＝0(3)(4)2．(1)(1，k)(k，－1)(2)(B，－A)(A，B)作业设计1．2解析 O是BC的中点，∴AO＝(AB＋AC)＝AM＋AN，∴MO＝AO－AM＝(－1)AM＋AN.又 MN＝AN－AM，MN∥MO，∴存在实数λ，使得MO＝λMN，即化简得m＋n＝2.2.解析BC中点为D，AD＝，∴|AD|＝.3．－25解析△ABC中，B＝90°，cosA＝，cosC＝，∴AB·BC＝0，BC·CA＝4×5×＝－16，CA·AB＝5×3×＝－9.∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝－25.4．垂心解析 OA·OB＝OB·OC，∴(OA－OC)·OB＝0.∴OB·CA＝0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为垂心．5．45°...