3.3复数的几何意义习题课课时目标1.进一步理解复数的概念.2.通过具体实例理解复平面的概念，复数的模的概念.3.将复数的运算和复数的几何意义相联系．1．复数相等的条件：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)．2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应向量OZ，复数z的模|z|＝|OZ|＝__________.3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝__________，在复平面内表示点Z(a，b)到______________．复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则|z1－z2|＝，在复平面内表示____________．4．i4n＝______，i4n＋1＝______，i4n＋2＝______，i4n＋3＝______(n∈Z)，＝______.一、填空题1．复数2＝__________.2．已知i2＝－1，则i(1－i)＝____________.3．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则a＝________，b＝______.4．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是________．5．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝__________.6．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．7．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝______.8．若|z－3－4i|＝2，则|z|的最大值是________．二、解答题9．已知复平面上的▱ABCD中，AC对应的复数为6＋8i，BD对应的复数为－4＋6i，求向量DA对应的复数．10．已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a，b的值；(2)若复数z满足|－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．能力提升11．复数3＋3i，－5i，－2＋i的对应点分别为平行四边形的三个顶点A，B，C，求第四个顶点对应的复数．12．(1)证明|z|＝1⇔z＝；(2)已知复数z满足z·＋3z＝5＋3i，求复数z.1．复数的运算可以和多项式运算类比，出现i2换成－1.2．复数可以和点、向量建立对应关系．3．复数问题实数化是解决问题的重要原则．习题课答案知识梳理1．a＝c，b＝d2．3．原点的距离点Z1(a，b)，Z2(c，d)两点间的距离4．1i－1－i－i作业设计1．－3－4i解析2＝2＝(1－2i)2＝－3－4i.2．＋i解析i(1－i)＝i＋.3．4．H解析由题图知复数z＝3＋i，∴＝＝＝＝2－i.∴表示复数的点为H.5．6－2i解析z·＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i＝6－2i.6．2解析考查复数的运算、模的性质．z(2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i与3＋2i的模相等，z的模为2.7．＋i解析设z＝x＋yi，则z＋|z|＝＋x＋yi＝2＋i，∴，∴，∴z＝＋i.8．7解析|z－3－4i|≥|z|－|3＋4i|，∴|z|≤2＋|3＋4i|＝7.9．解设▱ABCD的对角线AC与BD相交于点P，由复数加减法的几何意义，得DA＝PA－PD＝CA－BD＝(CA－BD)＝(－6－8i＋4－6i)＝－1－7i，所以向量DA对应的复数为－1－7i.10．解(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，故解得a＝b＝3.(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|－3－3i|＝2|z|，得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆．如图，当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值．∵|OO1|＝，半径r＝2，∴当z＝1－i时，|z|min＝.11．解当四点顺序为ABCD时，第四个顶点D对应的复数为1＋9i；当四点顺序为ADBC时，第四个顶点D对应的复数为5－3i；当四点顺序为ABDC时，第四个顶点D对应的复数为－5－7i.12．(1)证明设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝1⇔x2＋y2＝1，z＝⇔z·＝1⇔(x＋yi)(x－yi)＝1⇔x2＋y2＝1，∴|z|＝1⇔z＝.(2)解设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋3(x＋yi)＝(x2＋y2＋3x)＋3yi＝5＋3i，∴∴或.∴z＝1＋i或z＝－4＋i.
