第4讲转化与化归思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.2．函数f(x)＝＋的值域为________．3．在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，若数列{an＋1}成等差数列，则Sn＝________.4．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)，则|OP|的最小值等于________．5．已知函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R都成立，则参数a的取值范围为____________．6．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c，使f(c)>0，则实数p的取值范围为____________．7．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10＝________.8．已知函数f(x)＝(4a－3)x＋b－2a，x∈[0,1]，若f(x)≤2恒成立，则a＋b的最大值为________．9．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1(i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是____________．10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值为________．11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则＋的最大值为________．12．若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(1)＝1，则f(2012)＝________.二、解答题13．设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范围．14.已知非空集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，若A∩R－≠，求实数m的取值范围(R－表示负实数集)．15．已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在[0∞，＋)上是增函数，当0≤θ≤时，是否存在这样的实数m，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有的θ∈均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．答案1．52.[1，]3.na4.5．3≤a≤46.7．－308.9．(0，)10.11．412．201213．解∵f(x)在R上是增函数，∴由f(1－ax－x2)≤f(2－a)可得1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．∴a(x－1)＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1.则当且仅当g(－1)＝x2－x＋2≥0，g(1)＝x2＋x≥0，解之，得x≥0或x≤－1.故实数x的取值范围为x≤－1或x≥0.14．解设全集U＝{m|Δ＝16m2－8m－24≥0}＝.方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根均非负的充要条件是可得m≥.∴A∩R－＝时，实数m的取值范围为.∴A∩R－≠时，实数m的取值范围为{m|m≤－1}．15．解因为f(x)在R上为奇函数，又在[0∞，＋)上是增函数，故f(x)在R上为增函数，且f(0)＝0.由题设条件可得，f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>0.又由f(x)为奇函数，可得f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)．∵f(x)在R上为增函数，∴cos2θ－3>2mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ＋2m－2>0.令cosθ＝t，∵0≤θ≤，∴0≤t≤1.于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2－mt＋2m－2>0恒成立．∴t2－2>m(t－2)，即m>恒成立．又∵＝(t－2)＋＋4≤4－2，∴m>4－2，∴存在实数m满足题设的条件，且m>4－2.
