D7_5可降阶高阶微分方程VIP免费

目录上页下页返回结束可降阶高阶微分方程第五节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第七章目录上页下页返回结束一、)()(xfyn令,)1(nyz因此1d)(Cxxfz即同理可得2)2(dCxynxd依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.21CxC型的微分方程目录上页下页返回结束例1.解:12dcoseCxxyx12sine21Cxxxy2e41xy2e81xsin21xC32CxCxcos21CxC目录上页下页返回结束tFO例2.质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力F均匀地减直到t=T时F(T)=0.如果开始时质点在原点,解:据题意有)1(0TtFt=0时设力F仅是时间t的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初速度为0,且对方程两边积分,得)(tF)1(dd022TtmFtx0FT目录上页下页返回结束120)2(ddCTttmFtx利用初始条件,01C得于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用,02C得故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx目录上页下页返回结束),(yxfy型的微分方程设,)(xpy原方程化为一阶方程设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy二、目录上页下页返回结束例3.求解yxyx2)1(2,10xy30xy解:代入方程得pxpx2)1(2分离变量积分得,ln)1(lnln12Cxp,30xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10xy,12C得133xxy因此所求特解为目录上页下页返回结束例4.绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低点A到(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有Msg)(gHa其中yxyxd102a1故有211yay设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:TA点受水平张力HM点受切向张力T两式相除得HAyxO目录上页下页返回结束211yya,aOA设则得定解问题:),(xpy令,ddxpy则原方程化为两端积分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax,01C得则有两端积分得02C得故所求绳索的形状为axaych)ee(2axaxa悬链线aMsgTHAyxO目录上页下页返回结束三、),(yyfy型的微分方程令),(ypyxpydd则xyypdddd故方程化为设其通解为),,(1Cyp即得分离变量后积分,得原方程的通解目录上页下页返回结束例5.求解代入方程得两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp即(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:xpydd则xyypddddyppdd目录上页下页返回结束M:地球质量m:物体质量例6.静止开始落向地面,(不计空气阻力).解:如图所示选取坐标系.则有定解问题:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,dd)(tyyv设tvtydddd22则代入方程得积分得一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由yRlO求它落到地面时的速度和所需时间目录上页下页返回结束,1122lyMkv,ddtyvtdyylyMkld2两端积分得,0lyt利用,02C得因此有lylyylarccos2,,0000lyyvttt利用lMkC21得注意“－”号目录上页下页返回结束由于y=R时由原方程可得因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为lRlRRlglRtRyarccos21222ddtym,2yMmkyRlO目录上页下页返回结束说明:若此例改为如图所示的坐标系,22ddtym,00ty00ty，令tyvdd解方程可得问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.则定解问题为RylO目录上页下页返回结束例7.解初值问题解:令0e2yy,00xy10xy),(ypy,ddyppy则代入方程得积分得1221221eCpy利用初始条件,,0100xyyp,01C得根据ypxyedd积分得,e2Cxy,00xy再由12C得故所求特解为xye1得目录上页下页返回结束为曲边的曲边梯形面积上述两直线与x轴围成的三角形面例8.二阶可导,且上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,区间[0,x]上以解:于是cot2121yS2S在点P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.积记为(1999考研)ttySxd)(02Pxy1S1yxO目录上页下页返回...