第七节二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。§7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为呵+pdy+qy=O（7.1）dX2dX其中 p、q 是常数，由上节定理二知，要求方程（7.1）的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y,y12就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程（7.1）可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是覚，dy，y 各乘dx2dX以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数 y，其 d2y,dy,y 之间只相差一个常数因子，这样的函 dx2dx数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数 erx，符合上述要求，于是我们令y—erx(其中 r 为待定常数)来试解将 y—erx,dy—rerx，d'y—nerx代入方程(7.1)dxdx2^得 r2erx+prerx+qerx0或 erx(r2+pr+q)=O因为 erxHO，故得n+pr+q—O由此可见，若 r 是二次方程n+pr+q—O(7.2)的根，那么 erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一个以 r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根 r，r，称为特征根，12由代数知识，特征根 r，r 有三种可能的情况，下面12我们分别进行讨论。(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根 r，r，12此时 erix，er2x是方程(7.1)的两个特解。有 r=r=12这样只能得到方程(7.1)的一个er1er1x+p("u+ru)er1x+dx1因为空=e(「5)x工常数er2x所以 erlx,er2x为线性无关函数，由解的结构定理知,方程(7.1)的通解为y=cerlx+cer2x12(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根 r=r,此12时 p2—4q=0,即解 y=厲小因此，我们还要设法找出另一个满足 y2半1亍i常数，的特解 y,故应是 x 的某个函数，设 y2=u,2yyii其中 u=u(x)为待定函数，即y=uy=uerx211对 y 求一阶，二阶导数得2dydudui、2er1x+ruer1x(+ru)enxdxdx1dx1d2y2=(r2u+2rdu+d2Udx211dxdx2将它们代入方程(7.1)得du 丄 d2u(r2u+2r+11dxdx2quer1x=0[Eu+仪匸+p)du+(丫 2+pr+q)u]enxdx21dx11=0因为 erix#0,且因 r 是特征方程的根，故有 r2+iipr+q=0,又因 r=—P故有 2r+p=0,于是上式1121成...
