第一节 微分方程的基本概念1、 首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点 M（x,y）处的切线的斜率为2x，求这条曲线的方程。解 设曲线方程为.由导数的几何意义可知函数满足 （1）同时还满足以下条件：时， （2）把（1）式两端积分，得 即 （3）其中 C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得， 由此解出 C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： （4）（2）列车在平直线路上以 20的速度行驶；当制动时列车获得加速度.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程解 设列车开始制动后 t 秒时行驶了 s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数满足： （5）此外，还满足条件：时， （6）(5)式两端积分一次得： （7）再积分一次得 （8）其中都是任意常数。把条件“时”和“时”分别代入（７）式和（８）式，得把的值代入（7）及（8）式得 （9） （10）在（9）式中令，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：。再把代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程是四阶微分方程。一般地，阶微分方程的形式是 （11）其中 F 是个变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，是必须出现的，而等变量则可以不出现。例如阶微分方程中，除外，其他变量都没有出现。假如能从方程（11）中解出最高阶导数，得微分方程 （12）以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（12）式右端的函数在所讨论的范围内连续。由前面的例子我们看到，在讨论某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数在区间上有阶连续导数，假如在区间上，那么函数就叫做微分方程（11）在区间上的解。例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函...
