解析几何的思想VIP专享VIP免费

解析几何的思想、内容和意义──“中学数学中的解析几何”之一人民教育出版社中学数学室章建跃本文的目的是介绍解析几何发展的历史，重点讨论解析几何的方法──坐标法（坐标法），及其核心思想──数形结合思想，并在此基础上，讨论中学数学中解析几何的课程结构、内容及其处理方法，最后介绍人教A版高中数学课标教材解析几何部分的编写特点和教学建议。由于内容较多，我们分四个题目进行讨论。众所周知，近代数学的第一个里程碑是解析几何的诞生。这也是因应了时代发展的需要。文艺复兴使得科技文明获得新生，近代科学技术的发展使运动变化的研究成为自然科学的中心问题，由此而迫切需要一种新的数学工具。这样，数学就再一次“扮演了先行者、奠基者的角色”，“而其中影响无比深远者首推坐标解析几何和微积分，它们奠定了对于各种各样自然现象作深刻的数理分析的基本工具。”1．作为“方法论”的坐标法思想解析几何的创建是为了科学发展的需要，同时，从数学内部来看，也是出于对数学方法的追求。认识清楚这一点，对于我们理解解析几何的基本思想特别重要。这可以从追溯Descartes和Fermat在创立解析几何时的心路历程看出这种追求。（1）Descartes的坐标法思想Descartes1596年3月31日出生于法国拉埃耶一个古老的贵族家庭。他从小体弱多病，但非常好学，勤于思考，他不仅在数学上做出了重要的开创性贡献，而且在哲学、生物学、物理学等众多领域都做出了杰出贡献。他是机械自然观的第一个系统表述者，被誉为近代哲学的开创者。正如克莱因指出的，“Descartes是第一个杰出的近代哲学家，是近代生物学的奠基人，是第一流的物理学家，但只偶然地是个数学家。”他以大哲学家的眼光审视数学，认为数学立足于公理上的证明是无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的。数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法。数学方法“是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因而它是所有其他知识工具的源泉……所有那些目的在于研究顺序和度量的科学，都和数学有关。”他研究数学，目的是想寻找一种能在一切领域里建立真理的方法。他认为，逻辑本身对任何创造性的人类目标都贫乏而毫无用处；哲学、伦理学、道德学中的证明，与数学相比，花哨而虚假。那么应当如何发现呢？这就是：通过“控制下的实验”并对实验结果应用严格的数学推理。Descartes认为，以往的几何、代数研究都存在很大缺陷：欧氏几何中没有那种普遍适用的证明方法，几乎每一个证明都需要某种新的、技巧性很强的想法；代数的方法具有一般性，其推理程序也是机械化的，但它完全受法则和公式的控制，以至于“成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想的艺术，而不像用来改进思想的科学”。所以，代数与几何必须互相取长补短。不过，他推崇代数的力量，认为代数方法在提供广泛的方法论方面要高出几何方法，因此代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。于是，他提出了一个计划，即任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。他把精力集中在研究怎样把代数方法用于解决几何问题，其结果是创立了解析几何。1637年，Descartes在朋友的劝说下出版了《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（简称《方法论》），这是一本“文学和哲学的经典著作”，包括三个著名的附录──《几何学》、《屈光学》和《气象学》，解析几何的发明就包含在《几何学》中。他用于说明坐标法思想的问题是著名的Pappus问题，这是一个求与若干条给定直线具有确定关系的点的轨迹问题。他用坐标法证明了给定的直线是四条时的Pappus结论，实际上就是通过建立平面上的坐标1系，使点与坐标（有序实数对（x，y））一一对应，求出x，y满足的方程：y2＝Ay+Bxy+Cx+Dx2，其中A，B，C，D是由已知量组成的代数式，并把这个方程看成是点的轨迹（曲线）。这样，一个几何问题就归结为代数问题。所以，Descartes的理论建立在两个观念的基础上：坐标观念；利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成是平面上的一条曲线的观念。基于坐标法思想，Descartes给出了一系列新颖的结论，例如：曲线的次与坐标轴的选择无关，因此选择的坐标轴要使得方程...