§5从力做的功到向量的数量积课时目标1“”.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握向量数量积的运算律.1.两向量的夹角与垂直(1)夹角:已知两个____________a和b,作OA=a,OB=b,则________=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.①范围:向量a与b的夹角的范围是__________.②当θ=0°时,a与b________.③当θ=180°时,a与b________.(2)垂直:如果a与b的夹角是________,则称a与b垂直,记作________.2.射影的概念____________叫作向量b在a方向上的射影.____________叫作向量a在b方向上的射影.3.向量的数量积的定义已知两个向量a与b,它们的夹角为θ,则把__________________叫作a与b的__________(或________),记作________,即____________________________________.4.数量积的基本性质设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角.(1)a⊥b⇔__________;(2)当a与b同向时,a·b=__________,当a与b反向时,a·b=____________;(3)a·a=__________或|a|==;(4)cosθ=__________________(|a||b|≠0);(5)|a·b|≤__________(当且仅当a∥b时等号成立).5.平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.一、选择题1.|a|=2,|b|=4,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b方向上的射影等于()A.-3B.-2C.2D.-12.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于()A.B.-C.±D.13.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|等于()A.0B.2C.4D.84.在边长为1的等边△ABC中,设BC=a,CA=b,AB=c,则a·b+b·c+c·a等于()A.-B.0C.D.35.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°6.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12二、填空题7.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么b·(2a+b)的值为________.8.给出下列结论:①若a≠0,a·b=0,则b=0;②若a·b=b·c,则a=c;③(a·b)c=a(b·c);④a·[b(a·c)-c(a·b)]=0.其中正确结论的序号是________.9.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=________.10.已知a是平面内的单位向量,若向量b满足b·(a-b)=0,则|b|的取值范围是________.三、解答题11.已知|a|=4,|b|=3,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为60°时,分别求a与b的数量积.12.已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为,求|a+b|,|a-b|.能力提升13.已知|a|=1,|b|=1,a,b的夹角为120°,计算向量2a-b在向量a+b方向上的射影.14.设n和m是两个单位向量,其夹角是60°,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.1.两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时).2.数量积对结合律一般不成立,因为(a·b)·c=|a||b|·cos〈a,b〉·c是一个与c共线的向量,而(a·c)·b=|a|·|c|cos〈a,c〉·b是一个与b共线的向量,两者一般不同.3.向量b在a上的射影不是向量而是数量,它的符号取决于θ角,注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的,应结合图形加以区分.§5从力做的功到向量的数量积答案知识梳理1.(1)非零向量∠AOB①[0,π]②同向③反向(2)90°a⊥b2.|b|cosθ|a|cosθ3.|a||b|cosθ数量积内积a·ba·b=|a||b|·cosθ4.(1)a·b=0(2)|a||b|-|a||b|(3)|a|2(4)(5)|a||b|作业设计1.D[a在b方向上的射影是|a|cosθ=2×cos120°=-1.]2.A[ (3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0.∴λ=.]3.B[|2a-b|2=(2a-b)2=4|a|2-4a·b+|b|2=4×1-4×0+4=8,∴|2a-b|=2.]4.A[a·b=BC·CA=-CB·CA=-|CB||CA|cos60°=-.同理b·c=-,c·a=-,∴a·b+b·c+c·a=-.]5.C[由(2a+b)·b=0,得2a·b+b2=...