§5从力做的功到向量的数量积课时目标1“”．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3．掌握向量数量积的运算律．1．两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个____________a和b，作OA＝a，OB＝b，则________＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是__________．②当θ＝0°时，a与b________．③当θ＝180°时，a与b________．(2)垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作________．2．射影的概念____________叫作向量b在a方向上的射影．____________叫作向量a在b方向上的射影．3．向量的数量积的定义已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，则把__________________叫作a与b的__________(或________)，记作________，即____________________________________．4．数量积的基本性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔__________；(2)当a与b同向时，a·b＝__________，当a与b反向时，a·b＝____________；(3)a·a＝__________或|a|＝＝；(4)cosθ＝__________________(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤__________(当且仅当a∥b时等号成立)．5．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．一、选择题1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的射影等于()A．－3B．－2C．2D．－12．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于()A．B．－C．±D．13．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于()A．0B．2C．4D．84．在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于()A．－B．0C．D．35．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12二、填空题7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．8．给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0．其中正确结论的序号是________．9．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________．10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．三、解答题11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．12．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|．能力提升13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．3．向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．§5从力做的功到向量的数量积答案知识梳理1．(1)非零向量∠AOB①[0，π]②同向③反向(2)90°a⊥b2．|b|cosθ|a|cosθ3．|a||b|cosθ数量积内积a·ba·b＝|a||b|·cosθ4．(1)a·b＝0(2)|a||b|－|a||b|(3)|a|2(4)(5)|a||b|作业设计1．D[a在b方向上的射影是|a|cosθ＝2×cos120°＝－1．]2．A[ (3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0．∴λ＝．]3．B[|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2．]4．A[a·b＝BC·CA＝－CB·CA＝－|CB||CA|cos60°＝－．同理b·c＝－，c·a＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－．]5．C[由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝...
