§2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程一、基础过关1.若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A.－1－1C.m>3D.m<－12.双曲线5x2＋ky2＝5的一个焦点是(，0)，那么实数k的值为()A.－25B.25C.－1D.13.椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是()A.±5B.±3C.5D.94.若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于()A.2B.4C.8D.125.已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为()A.－y2＝1B.－x2＝1C.－y2＝1D.－＝16.已知动圆M过定点B(－4,0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.－＝1(x>0)B.－＝1(x<0)C.－＝1D.－＝17.若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________.二、能力提升8.在平面直角坐标系xOy中，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为________.9.已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且PF1·PF2＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为____________.10.如图，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.11.在△ABC中，BC边固定，顶点A在移动，设|BC|＝m，当三个角满足条件|sinC－sinB|＝|sinA|时，求顶点A的轨迹方程.12.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状.三、探究与拓展13.A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，求A应沿什么方向炮击P地.答案1.B2.C3.B4.B5.A6.C[设动圆M的半径为r，依题意有|MB|＝r，另设A(4,0)，则有|MA|＝r±4，即|MA|－|MB|＝±4.亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，且c＝4,2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，故轨迹方程是－＝1.]7.188.(1,3)9.－y2＝110.x2－y2＝1(x≤－)11.解以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示：则B，C.设点A的坐标为(x，y)，由题设，得|sinC－sinB|＝|sinA|.根据正弦定理，得||AB|－|AC||＝m.可知点A在以B、C为焦点的双曲线上.这里2a＝m，∴a＝.又c＝m，∴b2＝c2－a2＝－＝m2.故所求点A的轨迹方程为－＝1(y≠0).12.解(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1，则有解得a2＝3，b2＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而cos∠MF2F1＝<0，所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形.13.解如图所示，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立坐标系，则B(－3,0)、A(3,0)、C(－5,2)，∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上.∵kBC＝－，BC的中点D(－4，)，∴直线PD：y－＝(x＋4)①又|PB|－|PA|＝4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上.设P(x，y)，则双曲线方程为－＝1(x≥2)②联立①、②式，得x＝8，y＝5，所以P(8,5).因此kPA＝＝，故A应沿北偏东30°方向炮击P地.
