第3章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算3．1.1空间向量及其线性运算一、基础过关1．两个非零向量的长度相等是两个向量相等的________条件．2．判断下列各命题的真假：①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．3．已知空间四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，AD＝c，则CD＝________(用a，b，c表示)．4．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝____________.5．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的中心为O，①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量；②OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量；③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量；④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量．则上述结论正确的有________(填写正确命题的序号)．6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式DD1－AB＋BC化简后的结果是________．7．如图所示，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN＝xa＋yb＋zc，其中x＝________，y＝________，z＝________.8．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则A、B、C、D中一定共线的三点是________________________________________________________．9．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则x＝________，y＝________.二、能力提升10．如图所示，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD—A1B1C1D1且以八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有________个；(2)长度为的向量有________个；(3)与AB相等的向量为______________；(4)AA1的相反向量为______________．11．已知M，G分别是空间四边形ABCD的两边BC，CD的中点，化简下列各式．(1)AB＋BC＋CD；(2)AB＋(BD＋BC)；(3)AG－(AB＋AC)．12．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，试求实数k的值．三、探究与拓展13．如图所示，四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断CE与MN是否共线？答案1．必要不充分2．33．c－a－b4．－a＋b－c5．①③④6．BD17．－8．A、B、D9．110．(1)8(2)8(3)A1B1，DC，D1C1(4)A1A，B1B，C1C，D1D11．解如图所示，AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)取BD的中点H，连结MG，GH.∵M，G分别为BC，CD的中点，∴BMGH为平行四边形，∴(BD＋BC)＝BH＋BM＝BG，从而AB＋(BD＋BC)＝AB＋BG＝AG.(3)分别取AB，AC的中点S，N，连结SM，AM，MN，则ASMN为平行四边形，∴(AB＋AC)＝AS＋AN＝AM，∴AG－(AB＋AC)＝AG－AM＝MG.12．解因为BD＝CD－CB＝e1－4e2，AB＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，由共线向量定理得BD＝λAB(λ∈R)，∴e1－4e2＝2λe1＋λke2，∴，∴k＝－8.13．解∵M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB.∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)．∴CE＝2MN.∴CE∥MN，即CE与MN共线．
