（第六单元第1课时）圆的有关概念及性质VIP专享VIP免费

第六单元第1课时考点一圆的定义及其性质圆心半径集合1．圆的定义有两种方式(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做，线段OA叫做.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的.2．圆的对称性(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．(3)圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性.1．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E，则AE＝EB，AD＝DB，AC＝BC.考点二垂径定理及推论2．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．温馨提示平分弦的直径不一定垂直于弦，只有被平分的弦不是直径时才互相垂直.1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．考点三圆心角、弧、弦之间的关系1．定义：顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．考点四圆心角与圆周角如图，圆周角∠C和圆心角∠AOB都对着AB，则∠C＝12∠AOB.3．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．温馨提示1.圆周角定理的意义在于把圆周角和圆心角这两类不同的角联系在一起.2.同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆周角相等或互补.3.当已知条件中有直径时，常常作直径所对的圆周角，这是圆中常添加的辅助线.1．性质定理1：圆内接四边形的对角互补．2．性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠BCD＝∠B＋∠D＝180°，∠DCE＝∠A.考点五圆内接四边形性质定理1．垂径定理的应用用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用解由半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的．考点六圆的性质的应用2．借助在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角和圆心角相等进行角的等量代换；也可在同圆或等圆中，由相等的圆周角所对的弧(或弦)相等，进行弧(或弦)的等量代换．考点一垂径定理及其推论例1(2013·上海)在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为_________．【点拨】如图，过圆心O作AB的垂线交AB于点D，由垂径定理，得AD＝12AB＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝AO2－AD2＝5.【答案】5方法总结由垂径定理得出，半径、弦的一半、弦心距组成直角三角形，在这个直角三角形中，已知其中两边，利用勾股定理就可以求出第三边.考点二弧、弦、圆心角的关系例2(2013·厦门)如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝30°，则∠B＝()A．150°B．75°C．60°D．15°【点拨】 AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∠A＝30°，∴∠B＝12(180°－∠A)＝12(180°－30°)＝75°.故选B.【答案】B方法总结在圆中要证明两条弧、两条弦、两个圆心角中的一组相等时，可以考虑通过说明其他两组量中的一组相等来证明.考点三圆周角定理及其推论例3(2013·淮安)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠OBC＝50°，则∠A的度数是()A．40°B．50°C．80°D．100°【点拨】 OB＝OC，∠OBC＝50°，∴∠OCB＝∠OBC＝50°，∴∠O＝180°－∠OBC－∠OCB＝80°. ∠O和∠A分别是BC所对的圆心角和圆周角，∴∠A＝12∠O＝40°.故选A.【答案】A方法总结求圆周角的度数，可通过求同弧所对的圆心角的度数得到.考点四垂径定理的应用例4(2013·绍兴)绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为()A．4mB．5mC．6mD．8m【点拨】连接OA，则OA＝OC＝5，OD＝CD－OC＝8－5＝3(m)．在Rt△OAD中，OA2－OD2＝AD2，即52－32＝AD2，解得AD＝4(m)． OD⊥AB，由垂径定理可得AB＝2AD＝8(m)．【答案】D方法总结有关在半圆、优弧、劣弧中求相关数量的题目常通过...