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数学专题3——研究型问题【备考点睛】研究型问题最根本的特点在于它具有“获取新知识”的意义或意味，也即它不单纯是已学的课本知识的应用，而是包含有理解和掌握一个“新概念”或“新规定”、发现和总结一个“新规律”或“新结论”的成份及过程，它可以突出地考查我们的“学习能力”和“发现与创新”能力。从所依循的思考方向和思维方法来看，研究性问题可大体分为三类：1、通过引入的“新概念”或“新规定”及其应用，重在体现和考查“抽象概括”的能力”；2、通过设置由“特殊到一般”或“由一般到另一特殊”的活动情意，并从中归纳或类比总结出“新规律”，重在体现和考查“合情推理”的能力。3、通过对已知的普遍认识的基础上添加特殊条件或限制，以获得更特殊更深入的新认识，重在体现和考查由特殊化使认识走向更深入。【经典例题】类型一、设置“新概念”或“新规定”情景的研究性问题例题如图（1），菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”。在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等。（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形。①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于；②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形。（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形。你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义。解答：分析：对于（1），关键是准确地把握：菱形的“接近度”为，其中和是该菱形“相邻两内角的度数”。对于（2），首先要弄清：应保证相似图形的“接近度”相等，此乃是“接近度”的本质特征，接下来的问题就好解决了。详解：（1）①40。②。（2）不合理，例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等，合理定义方法不唯一，如定义为。越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形。说明：在本题，关键是要能把握“接近度”这一个新概念的本质特征。类型二、设置“发现新规律”的研究性问题http://school.chinaedu.commnab1例题提出问题：如图（1），在四边形中，P是AD边上任意一点，与和的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手。（1）当时（如图（2）的高相等。，，的高相等。。。。（2）当时，探求与和之间的关系，写出求解过程；（3）当时，探求与和之间的关系为：；（4）一般地，当（表示正整数）时，探求与和之间的关系，写出求解过程；问题解决：当时，与和之间的关系式为：。（1）（2）解答：分析：对于（2），关键是将（1）的推理过程类比到时的情景，看其是否成立；对于（3）是将（1）、（2）的结论再类比到；对于（4）则是将推理过程和结论进行更为一般化的推广和归纳。详解：（2），的高相等，。又的高相等，。http://school.chinaedu.comABCDPABCDP2。。（3）。（4）。，的高相等。。又的高相等。。。。问题解决：。说明：在本题，准确地使用“类比”和“归纳”是各小问题获解的关键。类型三、设置“特殊化”情景的研究性问题例题抛物线，其顶点（可以位于坐标系内任意一点，请研究以下问题：（1）若其顶点为（1，1），则，，若其顶点为（，则，，（2）具有怎样的关系时，顶点在直线上？（3）抛物线上任意一点，都可以是抛物线的顶点吗？若可以，请指明应满足的关系，若不可以，请说明理由。解答：分析：根据各小题中对顶点的特殊要求，去寻求应满足的条件。详解：（1）（通过解方程可得）2；4，9。（2）若（在直线上，则。为任意实数），即满足关系时，抛物线的顶点总在直线上。（3）可以。令，得为任意实数）。当和满足关系时，抛物线的顶点都在抛物线上。说明：由本题可以看出，特殊化方向的研究，可以使我们对原事物有更多方向和更深层次的认识。http://school.chinaedu.com3【技巧提炼】研究性问题的思考要点：1.把握准“新概念”和“新规定”的实质，或说根本特征，从而将其应用在所属的具体...