中考总复习十：几何变换要点分析我们在研究、解决几何问题时，常常把多边形和圆的问题转化为三角形(特别是直角三角形)来解决．然而有些图形结构中无法找到可解的三角形，这时我们就需要将已知的三角形进行平移、旋转或轴对称变换，从而将一些分散的元素(线段或角)重新组合成新的三角形，在新的图形结构中寻求元素之间的关系．这个转化过程就是几何变换的过程．经典例题一、用旋转变换分析解决问题例1．(顺义一模25题)已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．(1)若点D在边AC上，点E在边AB上，且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；(2)如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．图①图②解析：(1)根据“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”，不难证明，且．(2)如图，作，，连接BD、BF．则≌．可得，．相当于将绕点B旋转得到．，，且．四边形EDCF是平行四边形．是EC中点，是DF中点．垂直平分DF．可得，且．反思一下：由于本题的第(1)问探究的两条线段在特殊位置关系下的数量关系和位置关系，因此证明起来并不困难．而第(2)问探究的两条线段在一般位置关系下的关系，我们以旋转的观点可以清楚地看出这两条线段在运动变化过程中的不变关系．那么第(1)问中的情况是否也符合这个一般规律呢？我们可以用第(2)问中的旋转方法再来研究第(1)问中的特殊情况(如图所示)．二、用平移变换分析解决问题例2．(西城一模24题)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出的取值范围．解析：(1)易求C．过A、B、C三点的抛物线的解析式为．(2)可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为，可设点P的坐标为．解法一：如图1，作OP∥AD交直线BC于点P，连结AP，作PM⊥x轴于点M． OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．但此时，OM＜GA． ，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P．解法二：如图2，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为．NE=EG=，ON=OE－NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为． x=时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．用平移变换的想法解题：解法三：如图2，点D向上平移个单位长度，再向右平移2.5个单位长度得到点A．若四边形ODAP为平行四边形，则需要点O向上平移个单位长度，再向右平移2.5个单位长度得到点P．而此时点P坐标为(，)，它不在抛物线上．因此不存在符合条件的点P．(3)的取值范围是．说明：如图3，由对称性可知QO=QH，．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，取得最大值4(即为AH的长)；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，取得最小值0．反思一下：第(2)问中探究平行四边形的存在性，可以直接根据平行四边形的判定方法解题．显然根据角的关系判定或根据边的关系判定计算量比较大．因此，我们考虑变换一下判定的方法，即OP和AD平行且相等看成D到A和O到P各自平移的方向和长度是相同的．这样，解题的过程就变得容易多了．三、用轴对称变换分析解决问题例3．(海淀一模25题)已知抛物线经过点A(0，4)、B(1，4)、C(3，2)，与x轴正半轴交于点D．(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；(2)在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；(3)在(2)的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P(x，0)，△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自...
