初中数学竞赛专题选讲基本对称式一、内容提要1.上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质.形如x+y和xy是两个变量x,y的基本对称式.2.含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.例如x2+y2,x3+y3,(2x－5)(2y－5),－，……都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示：x2+y2＝（x+y）2－2xy，x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，(2x－5)(2y－5)＝4xy－10(x+y)+25,－=－,==.3.设x+y=m,xy=n.则x2+y2＝（x+y）2－2xy＝m2－2n；x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)=m3－3mn；x4+y4＝（x2+y2）2－2x2y2＝m4－4m2n+2n2；x5+y5＝（x2+y2）(x3+y3)－x2y2(x+y)=m5－5m3n+5mn2；………一般地，xn+yn(n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：xk+1+yk+1=(xk+yk)(x+y)－xy(xk－1+yk－1)(k为正整数).4.含x,y的对称式，x+y,xy这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.二、例题例1.已知x=(+1),y=求下列代数式的值：①x3+x2y+xy2+y3；②x2(2y+3)+y2(2x+3).解：∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.∴先求出x+y=,xy=.①x3+x2y+xy2+y3＝（x+y）3－2xy(x+y)=()3－2×=2；②x2(2y+3)+y2(2x+3)＝2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3［（x+y）2－2xy］+2xy(x+y)=3［（）2×＝－6.例2.解方程组分析：可由x3+y3,x+y求出xy，再由基本对称式，求两个变量x和y.解：∵x3+y3,＝（x+y）3－3xy(x+y)③把①和②代入③，得35＝53－15xy.∴xy=6.解方程组得或.例3.化简＋.解：设＝x,=y.那么x3+y3=40,xy==2.∵x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，∴40＝（x+y）3－6（x＋y）.设x+y=u,得u3－6u－40=0.(u－4)(u2+4u+10)=0.∵u2+4u+10=0没有实数根，∴u－4＝0,u＝4.∴x+y=4.即＋＝4.例4.a取什么值时，方程x2－ax+a－2=0的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为x1,x2.根据韦达定理，得∵＝＝＝，∴当a=2时，有最小值是2.三、练习1.已知x－y=a,xy=b.则x2+y2=______；x3－y3=______.2.若x+y=1,x2+y2=2.则x3+y3=_______；x5+y5=______.3.如果x+y=－2k,xy=4,.则k=_____.4.已知x+=4,那么x－=____，=＿＿＿.5.若.＝a,那么x+=______,=＿＿＿.6.已知：a=,b=.求：①7a2+11ab+7b2；②a3+b3－a2－b2－3ab+1.7.已知＝8，则＝＿＿＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）8.已知a2+a－1=0则a3－=＿＿＿＿＿.(1987年泉州市初二数学双基赛)9.已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.（1990年泉州市初二数学双基赛）10.化简：①；②.练习题参考答案1.a2+2b,a3+3ab2.2.5,4.753.±4.2或－2，14，525.a2－2,a4－4a2+26.109,367.628.–49.x2±3x＋2＝010.①1，②2
