第一章导数及其应用www.gzjxw.net1.7定积分的简单应用1．7.2定积分在物理中的应用www.gzjxw.net［学习目标］会用定积分求变速直线运动的路程和变力做功（重点、难点）．www.gzjxw.net[知识提炼·梳理]1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝_________.∫bav(t)dtwww.gzjxw.net温馨提示在求物理运动的路程时要注意：物体运动的路程，只有正值没有负值．www.gzjxw.net2．变力做功物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所做的功为W＝Fs；如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b，则变力F(x)做的功W＝__________.∫baF(x)dxwww.gzjxw.net[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)物体在1≤t≤3时，运动速度为v(t)＝t2－2t，则它在这段时间内行驶的路程为∫31|t2－2t|dt.()(2)物体在力F(x)下沿与f(x)相同的方向从x＝0运动到x＝8，则该力对物体做的功为∫80f(x)dx.()(3)用f(x)＝4x(单位：N)的力拉弹簧，将弹簧由10m拉长到15m，所消耗的功是250J．()www.gzjxw.net解析：(1)对，由定积分的物理意义知结论正确．(2)对，由定积分的物理意义知结论正确．(3)对，所求的功为∫15104xdx＝2x2|1510＝250.答案：(1)√(2)√(3)√www.gzjxw.net2．一物体沿直线以v＝2t＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则物体在t＝1到t＝2之间行进的路程为()A．1mB．2mC．3mD．4m解析：s＝∫21(2t＋1)dt＝(t2＋t)|21＝4m.答案：Dwww.gzjxw.net3．如果1N的力能使弹簧伸长1cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为()A．0.5JB．1JC．50JD．100J解析：由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比例，依题意得F(x)＝x，所以，所求功为W＝∫100F(x)dx＝∫100xdx＝12x2|100＝50N·cm＝0.5J.答案：Awww.gzjxw.net4．一物体以速度v＝3t2＋2t(单位：m/s)做直线运动，则它在t＝0到t＝3时间段内的位移是________m.解析：s＝∫30(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|30＝33＋32＝36(m)．答案：36www.gzjxw.net5．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t(单位：m/s)，则列车刹车后前进________m才能停车．解析：令v(t)＝27－0.9t，得t＝30，所以列车刹车30s后可停车，则列车由开始刹车到停车所走的路程为s＝∫300v(t)dt＝∫300(27－0.9t)dt|21＝(27t－0.45t2)|300＝405m.答案：405www.gzjxw.net类型1利用定积分求变力所做的功(自主研析)[典例1]一物体按规律x＝8t3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，阻力与速度的平方成正比(比例系数为7)，试求物体由x＝0运动到x＝1时阻力所做的功．www.gzjxw.net解：由x＝8t3得v＝(8t3)′＝24t2，当x＝0时，t＝0；当x＝1时，t＝1813＝12，又阻力F＝7v2，www.gzjxw.netwww.gzjxw.net[变式训练]设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功．解：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意，得F(x)＝kx，www.gzjxw.net且当x＝0.05m时，F(0.05)＝100N，即0.05k＝100，所以k＝2000，所以F(x)＝2000x.所以将弹簧由25cm伸长到40cm所做的功为：W＝∫0.1502000xdx＝1000x2|0.150＝22.5(J)．www.gzjxw.net类型2利用定积分求变速直线运动的路程或位移解：www.gzjxw.netwww.gzjxw.netwww.gzjxw.netwww.gzjxw.net[变式训练]若某物体以速度v(t)＝4－t2做直线运动，它在t＝1到t＝4这段时间内所走过的路程为________．解析：当1≤t≤2时，v(t)≥0；当2≤t≤4时，v(t)≤0.故物体在t＝1到t＝4这段时间内所走过的路程s＝∫21v(t)dt＋www.gzjxw.net|∫42v(t)dt|＝∫21(4－t2)dt－∫42(4－t2)dt＝4t－13t3|21－4t－13t3|42＝373.答案：373www.gzjxw.net1．物体做变速直线运动经过的位移s，等于其速度函数v(t)在时间区间[a，b]上的定积分；要注意物体所走的路程与位移的区别与联系．2．变力F(x)的大小随物体是位置变化而变化，因此，F(x)在[a，b]上所做的功等于变力函数在位移区间[a，b]上的定积分．www.gzjxw.net3．用定积分解决简单的物理物体时，要结合物理学中的相关内容，将物理物体转化为能用定积分解决的问题．
