【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学4.3平面坐标系中几种常见变换8平面直角坐标系中的伸缩变换学业分层测评苏教版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]1．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换后的方程．(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.【解】由伸缩变换得到①(1)将①代入2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x′＋y′＝0，所以，经过伸缩变换后，直线2x＋3y＝0变成直线x＋y＝0.(2)将①代入x2＋y2＝1，得＋＝1.所以，经过伸缩变换后，方程x2＋y2＝1变成＋＝1.2．伸缩变换的坐标表达式为曲线C在此变换下变为椭圆x′2＋＝1.求曲线C的方程．【解】把代入x′2＋＝1，得x2＋y2＝1，即曲线C的方程为x2＋y2＝1.3．设F：(x－1)2＋(y－1)2＝1在的伸缩变换下变为图形F′，求F′的方程．【解】由得所以(x－1)2＋(y－1)2＝1变换为(x′－1)2＋(y′－1)2＝1，即＋(y′－1)2＝1，所以F′的方程是＋(y－1)2＝1.4．双曲线－＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x2－y2＝1吗？【解】双曲线方程－＝1可以化为()2－()2＝1.令则x′2－y′2＝1.所以双曲线－＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x2－y2＝1，具体步骤是：按伸缩系数向着y轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数向着x轴进行伸缩变换．5．已知G是△ABC的重心，经过伸缩系数k向着x轴(或y轴)的伸缩变换后，得到G′和△A′B′C′.试判断G′是否为△A′B′C′的重心．【解】设△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则G(，)．经过伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到△A′B′C′的三个顶点及点G′的坐标分别为A′(x1，ky1)、B′(x2，ky2)，C′(x3，ky3)，G′(，k)．由于△A′B′C′的重心坐标为(，)，所以G′仍然是△A′B′C′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y轴方向，G′同样也是△A′B′C′的重心．6．已知：△ABC经过伸缩变换(k≠0，且k≠1)后，得到△A′B′C′.求证：△A′B′C′和△ABC相似，且面积比为k2.【证明】设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A′(kx1，ky1)、B′(kx2，ky2)．所以A′B′＝＝|k|＝|k|AB.同理可得A′C′＝|k|AC，B′C′＝|k|BC，所以△A′B′C′∽△ABC，所以∠A＝∠A′，S△A′B′C′＝(|k|AB)·(|k|AC)sinA′＝k2(AB·AC)sinA]＝k2S△ABC.7．设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ，使P1P＝λPP2，称λ为点P分有向线段P1P2所成比．设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，点P分有向线段P1P2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P1、P2和P分别变为P1′、P2′和P′.求证：P1′、P2′和P′三点依然共线，且P′分有向线段P1′P2′所成比等于λ.1【导学号：98990023】【证明】设P(x0，y0)，由P1P＝λPP2，得(x0－x1，y0－y1)＝λ(x2－x0，y2－y0)，所以设给定伸缩变换为则有P1′(k1x1，k2y1)、P2′(k1x2，k2y2)、P′(k1，k2)．P1′P′＝(k1－k1x1，k2－k2y1)＝λ(，)，P′P2′＝(k1x2－k1，k2y2－k2)＝(，)，所以P1′P′＝λP′P2′.所以P1′、P2′和P′三点依然共线，且P′分有向线段P1′P2′所成比等于λ.能力提升]8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线－＝1的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍．【解】(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线－＝1的图形如下：(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线－＝1的图形如下：(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线－＝1的图形如下：2
