第2讲不等式的证明1.设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.解(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}.(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.2.已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：＋＋＜＋＋.证明法一∵a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，∴＋＋＝＋＋＜＋＋＝＋＋.∴＋＋＜＋＋.法二∵＋≥2＝2；＋≥2＝2；＋≥2＝2.∴以上三式相加，得＋＋≥＋＋.又∵a，b，c互不相等，∴＋＋＞＋＋.法三∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋＞＋＋＝＋＋.∴＋＋＜＋＋.3.(2017·衡阳二联)已知函数f(x)＝|x－3|.(1)若不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集，求实数a的取值范围；(2)若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，判断与f的大小，并说明理由.解(1)因为f(x－1)＋f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1，不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集，则1≥a即可，所以实数a的取值范围是(－∞，1].(2)＞f.证明：要证＞f，只需证|ab－3|＞|b－3a|，即证(ab－3)2＞(b－3a)2，又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9).因为|a|＜1，|b|＜3，所以(ab－3)2＞(b－3a)2成立，所以原不等式成立.4.(2015·陕西卷)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值.解(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则解得(2)＋＝＋≤＝2＝4，当且仅当＝，即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4.5.(2015·全国Ⅱ卷)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.证明(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2,即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.6.已知a，b，c均为正实数.求证：(1)(a＋b)(ab＋c2)≥4abc；(2)若a＋b＋c＝3，则＋＋≤3.证明(1)要证(a＋b)(ab＋c2)≥4abc，可证a2b＋ac2＋ab2＋bc2－4abc≥0，需证b(a2＋c2－2ac)＋a(c2＋b2－2bc)≥0，即证b(a－c)2＋a(c－b)2≥0，当且仅当a＝b＝c时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(a＋b)(ab＋c2)≥4abc成立.(2)因为a，b，c均为正实数，由不等式的性质知·≤＝，当且仅当a＋1＝2时，取等号，·≤＝，当且仅当b＋1＝2时，取等号，·≤＝，当且仅当c＋1＝2时，取等号，以上三式相加，得(＋＋)≤＝6，所以＋＋≤3，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号.
