3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与不等式的性质A级基础巩固一、选择题1．下列命题正确的是()A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x＜2000”B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x＞y”C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”解析：对于A，x应满足x≤2000，故A错；对于B，x，y应满足x＜y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误．答案：C2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是()A．A≤BB．A≥BC．A＜B或A＞BD．A＞B解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝(a－)2＋b2≥0，所以A≥B.答案：B3．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系为()A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)＜g(x)D．随x值变化而变化解析：因为f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以f(x)＞g(x)．答案：A4．如果a＞b＞0，则下列不等式中，成立的是()①＜②a3＞b3③lg(a2＋1)＞lg(b2＋1)④2a＞2bA．①②③④B．①②③C．①②D．③④解析：因为a＞b＞0，所以＜，即①正确，否定D.因为A、B、C中均含②，故不用论证②，故选④论证，若④正确，则选A.因为a＞b＞0，利用指数函数y＝2x的性质，2a＞2b成立．所以④正确，选A.答案：A5．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D.＜a＜＜b答案：B二、填空题6．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系是________．解析：M－N＝(x2＋y2－4x＋2y)－(－5)＝(x2－4x＋4)＋(y2＋2y＋1)＝(x－2)2＋(y＋1)2.①因为(x－2)2≥0，(y＋1)2≥0，所以(x－2)2＋(y＋1)2≥0，1又因为x≠2或y≠－1，所以(x－2)2与(y＋1)2不会同时为0.②所以(x－2)2＋(y＋1)2＞0，所以M＞N.答案：M＞N7．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．解析：因为z＝－(x＋y)＋(x－y)，所以3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，所以z的取值范围是[3，8]．答案：[3，8]8．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的几辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满，则题目中所包含的不等关系为________．解析：设租车x辆，根据题意得：答案：三、解答题9．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；(2)若－1＜a＜b＜0，试比较，，a2，b2的大小．解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．因为x≤1，所以x－1≤0，又3x2＋1＞0，所以(x－1)(3x2＋1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.(2)因为－1＜a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，所以a2＞b2＞0.因为a＜b＜0，所以a·＜b·＜0，即0＞＞，所以a2＞b2＞＞.10．设a＞0，且a≠1，比较loga(a3＋1)与loga(a2＋1)的大小．解：(a3＋1)－(a2＋1)＝a2(a－1)，当0＜a＜1时a3＋1＜a2＋1.所以loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．当a＞1时a3＋1＞a2＋1，所以loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．所以总有loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．B级能力提升1．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①③C．②③D．①②③解析：由a＞b＞1，得0＜＜，又c＜0，所以＞，①正确；幂函数y＝xc(c＜0)在(0，＋∞)上是减函数，所以ac＜bc，②正确；因为a－c＞b－c＞0，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，③正确．故①②③正确．答案：D2．已知－1＜a＜1，则与1－a的大小关系为________．解析：因为－1＜a＜1，所以1＋a＞0，1－a＞0，2即＝，因为0＜1－a2≤1.所以≥1，所以≥1－a.答案：≥1－a3．已知a＞0，b＞0，且m，n∈N*，1≤m≤n，比较an＋bn与an－mbm＋ambn－m的大小．解：an＋bn－(an－mbm＋ambn－m)＝an－m(am－bm)＋bn－m(bm－am)＝(am－bm)(an－m－bn－m)．因为a＞0，b＞0，m，n∈N*，1≤m≤n，当a＝b＞0时，an＋bn－(an－mbm＋ambn－m)＝0；当a＞b＞0时，am＞bm，an－m≥bn－m)，所以an＋bn－(an－mbm＋ambn－m)≥0；当b＞a＞0时，am＜bm，an－m≤bn－m，所以an＋bn－(an－mbm＋ambn－m)≥0.综上所述，an＋bn≥an－mbm＋ambn－m.3
