（江苏专版）高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第3讲 平面向量的数量积及应用举例分层演练直击高考 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

第3讲平面向量的数量积及应用举例1．(2018·无锡质检)已知向量a＝(2，1)，b＝(5，－3)，则a·b的值为________．[解析]因为a·b＝(2，1)·(5，－3)＝10－3＝7.[答案]72．等边三角形ABC的边长为1，BC＝a，CA＝b，AB＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝________．[解析]由题意知|a|＝|b|＝|c|＝1，且a与b的夹角为120°，b与c的夹角为120°，c与a的夹角也为120°.故a·b＋b·c＋c·a＝－.[答案]－3．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb垂直，则k＝________．[解析]因为(a＋kb)⊥(a－kb)，所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即|a|2－k2|b|2＝0.又因为|a|＝3，|b|＝4，所以k2＝，即k＝±.[答案]±4．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则AM·AN的最大值为________．[解析]由平面向量的数量积的几何意义知，AM·AN等于AM与AN在AM方向上的投影之积，所以(AM·AN)max＝AM·AC＝·(AB＋AD)＝AB2＋AD2＋AB·AD＝9.[答案]95．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.[解析]由题意得：＝⇒＝⇒＝⇒m＝2.[答案]26．(2018·南通市高三第一次调研测试)在△ABC中，若BC·BA＋2AC·AB＝CA·CB，则的值为________．解析：由BC·BA＋2AC·AB＝CA·CB，得2bc×＋ac×＝ab×，化简可得a＝c.由正弦定理得＝＝.答案：7．(2018·南京高三模拟)在凸四边形ABCD中，BD＝2，且AC·BD＝0，(AB＋DC)·(BC＋AD)＝5，则四边形ABCD的面积为________．解析：(AB＋DC)·(BC＋AD)＝(CB－CA＋DC)·(DC－DB＋AD)＝(DB＋AC)·(AC－DB)＝AC2－DB2＝5，即AC2－BD2＝5.因为BD＝2，所以AC＝3，所以四边形ABCD的面积为AC×BD＝×2×3＝3.答案：38．(2018·台州月考)平面向量a，b满足|a|＝2，|a＋b|＝4，且向量a与向量a＋b的夹角为，则|b|为________．[解析]因为向量a与向量a＋b的夹角为，所以cos＝＝＝，解得a·b＝0，即a⊥b.所以|a|2＋|b|2＝|a＋b|2，从而解得，|b|＝2.[答案]29．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分线上一点，则AO·BC＝________．[解析]取BC边的中点D，连结AD，则AO·BC＝(AD＋DO)·BC＝AD·BC＋DO·BC＝AD·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝(AC2－AB2)＝(62－102)＝－32.[答案]－3210．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．[解析]法一：以点A为原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，又E在AB边上，故设E(t，0)，t∈[0，1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC＝(1，0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1，0)＝t，又t∈[0，1]，故DE·DC的最大值为1.法二：由图知，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，所以DE·CB＝|CB|·1＝1，当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大即为DC＝1，所以(DE·DC)max＝|DC|·1＝1.[答案]1111.如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB.(1)如果BP＝2PA，求x，y的值；(2)如果BP＝3PA，|OA|＝4，|OB|＝2，且OA与OB的夹角为60°时，求OP·AB的值．[解](1)由BP＝2PA，所以OP－OB＝2(－OP＋OA)，即3OP＝2OA＋OB，所以x＝，y＝.(2)OP＝OB＋BP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB，AB＝OB－OA，所以OP·AB＝·(OB－OA)＝－OA2＋OB2＋OA·OB＝－9.12．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．[解](1)证明：因为m∥n，所以asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆的半径，所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.所以a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，所以ab＝4(舍去ab＝－1)，所以S＝absinC＝×4×sin＝.1．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a与b的夹角为锐角，则a·b＞0且a与b不共线，则解得λ＜－或0...