2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例1.若向量=(1,1),=(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为(C)(A)(B)2(C)(D)解析:由于F1+F2=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所以|F1+F2|==,故选C.2.平行四边形ABCD的三个顶点分别是A(4,2),B(5,7),C(-3,4),则顶点D的坐标是(D)(A)(12,5)(B)(-2,9)(C)(3,7)(D)(-4,-1)解析:设D(x,y),由=知(1,5)=(-3-x,4-y),即所以故选D.3.平面内四边形ABCD和点O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d,则四边形ABCD为(D)(A)菱形(B)梯形(C)矩形(D)平行四边形解析:由题意知a-b=d-c,所以=,所以四边形ABCD为平行四边形.故选D.4.已知△ABC中,·<0,则△ABC为(A)(A)钝角三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)等腰直角三角形解析:由已知得,∠A为钝角,故△ABC为钝角三角形.5.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,需再加上一个力f4,则f4等于(D)(A)(-1,-2)(B)(1,-2)(C)(-1,2)(D)(1,2)解析:f1+f2+f3=(-1,-2),由题意,得f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).选D.16.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于(A)(A)以a,b为邻边的平行四边形的面积(B)以b,c为邻边的平行四边形的面积(C)以a,b为两边的三角形的面积(D)以b,c为两边的三角形的面积解析:由题知a⊥c,所以|cos
|=|sin|,又|a|=|c|,所以|b·c|=|b||c||cos|=|b||a||sin|.故选A.7.如图所示,矩形ABCD中,AB=4,点E为AB中点,若⊥,则||等于(B)(A)(B)2(C)3(D)2解析:建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),E(2,0).设D(0,m)(m>0),C(4,m),则=(2,-m),=(4,m).因为⊥,所以2×4-m2=0,解得m2=8.所以||==2.故选B.8.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是(D)2(A)|b|=1(B)a⊥b(C)a·b=1(D)(4a+b)⊥解析:因为b=-=,所以|b|=||=2,故A错;因为·=2×2×cos60°=2,即-2a·b=2,所以a·b=-1,故B,C都错;因为(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+b2=-4+4=0,所以(4a+b)⊥,故选D.9.若力F1,F2,F3达到平衡且F1,F2大小均为1,夹角为60°,则F3的大小为.解析:F1·F2=1×1×cos60°=,由F1+F2+F3=0可得F3=-(F1+F2),=(F1+F2)2=++2F1·F2=1+1+2×=3,则|F3|=.答案:10.已知点A(2,0),B(-4,4),C(1,-1),D是线段AB的中点,延长CD到点E,使||=2||,则点E的坐标为.解析:由已知,得D(-1,2).因为||=2||,所以=2.设E(x,y),则有(-2,3)=2(x+1,y-2),所以所以答案:(-2,)11.在边长为1的正三角形ABC中,·+·+·=.3解析:·+·+·=·(+)+·=·-·=--||||cos60°=-12-1×1×=-.答案:-12.如图,已知△ABC的面积为,AB=2,·=1,则AC边的长为.解析:设点C的坐标为(x,y).因为AB=2,所以B点坐标是(2,0),所以=(2,0),=(x-2,y).因为·=1,所以2(x-2)=1,所以x=.又S△ABC=,所以||·|y|=.所以y=.所以C点坐标为(,),从而=(,),所以||==.故AC边的长为.答案:413.已知F=(2,3)作用于一物体,使物体从A(2,0)移动到B(-2,3),求F对物体所做的功.解:=(-4,3),W=F·s=F·=(2,3)·(-4,3)=-8+9=1(J).所以力F对物体所做的功为1J.14.已知O,A,B,C是平面内四点,=sin2α+cos2α,α是锐角.(1)证明:C在线段AB上;(2)若α=45°,||=||=1,且|-|=,求||的大小.(1)证明:因为sin2α+cos2α=1,=sin2α+cos2α,所以A,B,C共线,且C在线段AB上.(2)解:由题意,C是AB的中点,因为||=||=1,且|-|=,所以OA⊥OB,所以||=||=.15.已知点A(1,2)和B(4,-1),问能否在y轴上找到一点C,使∠ACB=90°,若不能,请说明理由;若能,求出C点的坐标.解:假设存在点C(0,y)使∠ACB=90°,则⊥.因为=(-1,y-2),=(-4,y+1),⊥,所以·=4+(y-2)(y+1)=0,所以y2-y+2=0.而在方程y2-y+2=0中,Δ<0,所以方程无实数解,故不存在满足条件的点C.16.已知,是非零向量且满足(-2)⊥,(-2)⊥,则△ABC的形状是(D)5(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形解析:因为(-2)⊥,所以(-2)·=0,所以-2·=0,所以=2·.因为(-2)⊥,所以(-2)·=0,所以-2·=0,所以=2·,所以=,所以||=||,△ABC为等腰三角形.又因为=2·=2||2·cosA,所以2cosA=1,cosA=,∠A=60°,所以△ABC是等边三角形.17.在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量,则点...
