第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量⃗AB'、⃗AD'、⃗BD是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解析向量⃗AB'、⃗AD'、⃗BD显然不是有相同起点的向量,A不正确;由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B不正确.又 ⃗AD'−⃗AB'=⃗B'D'=⃗BD,∴⃗AB',⃗AD',⃗BD共面,C正确,D不正确.答案C2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.a∥c,b∥cB.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥bD.以上都不对解析 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),∴a·b=-4+0+4=0,∴a⊥b. -4-2=-6-3=21,∴a∥c.答案C3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,⃗BA+⃗BC+⃗DD1=()A.⃗D1B1B.⃗D1BC.⃗DB1D.⃗BD1解析如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,⃗BA+⃗BC+⃗DD1=(⃗BA+⃗BC)+⃗DD1=⃗BD+⃗DD1=⃗BD1.答案D4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若⃗AB=a,⃗AA1=c,⃗BC=b,则⃗BM可表示为()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c解析 ⃗BM=⃗BB1+⃗B1M=c+12¿)=c+12(-a+b)=-12a+12b+c.答案A5.在四棱锥P-ABCD中,⃗AB=(4,-2,3),⃗AD=(-4,1,0),⃗AP=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于()A.1B.2C.13D.26解析设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗AB=0,n·⃗AD=0,即{4x-2y+3z=0,-4x+y=0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n=(3,12,4),四棱锥的高h=|⃗AP·n||n|=2613=2.答案B6.已知两不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n1=(2,-3,1),⃗AB=(1,0,-2),⃗AC=(1,1,1),则()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能解析由题意,n1·⃗AB=2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n1⊥⃗AB,n1·⃗AC=2×1+(-3)×1+1×1=0,得n1⊥⃗AC,所以n1⊥平面ABC,所以平面α的法向量与平面ABC的法向量共线,则平面α∥平面ABC.答案A7.直线AB与直二面角α-l-β的两个面分别交于A,B两点,且A,B都不在棱l上,设直线AB与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是()A.0°<θ+φ<90°B.0°<θ+φ≤90°C.90°<θ+φ<180°D.θ+φ=90°解析如图,分别过点A,B向平面β,α作垂线,垂足为A1,B1,连接BA1,AB1.由已知α⊥β,所以AA1⊥β,BB1⊥α,因此∠BAB1=θ,∠ABA1=φ.由最小角定理得∠BAA1≥θ,而∠BAA1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA1≤90°,当AB⊥l时,θ+φ=90°,应选B.答案B8.长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=⃗A1B2·⃗AiBj,i∈{1,2,3,4},j∈{1,2,3,4}}中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析 长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系,则A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),B1(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),则⃗A1B2=(-1,0,2),与⃗A1B1=(0,0,2)相等的向量为⃗A2B2=⃗A3B3=⃗A4B4,此时⃗A1B2·⃗A1B1=2×2=4,与⃗A1B4=(0,-1,2)相等的向量为⃗A2B3,此时⃗A1B2·⃗A1B4=2×2=4,与⃗A4B1=(0,1,2)相等的向量为⃗A3B2,此时⃗A1B2·⃗A4B1=2×2=4,与⃗A2B1=(1,0,2)相等的向量为⃗A3B4,此时⃗A1B2·⃗A2B1=-1+4=3,与⃗A1B2=(-1,0,2)相等的向量为⃗A4B3,此时⃗A1B2·⃗A1B2=1+4=5,体对角线向量为⃗A1B3=(-1,-1,2),此时⃗A1B2·⃗A1B3=1+4=5,⃗A2B4=(1,-1,2),⃗A1B2·⃗A2B4=-1+4=3,⃗A3B1=(1,1,2),⃗A1B2·⃗A3B1=-1+4=3,⃗A4B2=(-1,1,2),⃗A1B2·⃗A4B2=1+4=5,综上集合{x|x=⃗A1B2·⃗AiBj,i∈{1,2,3,4},j∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.答案C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9.设a,b,c是空间一个基底,下列选项中正确的是()A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zcD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底解析由a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任...
