高中数学 第一章 空间向量与立体几何 1.4.2 用空量研究距离、夹角问题课时分层作业（含解析）新人教A版选择性必修第一册-新人教A版高二第一册数学试题VIP免费

课时分层作业(八)(建议用时：40分钟)一、选择题1.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A．B．C．D．D[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB＝1.则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，A1B＝(0,1，－2)，AD1＝(－1,0,2)，cos〈A1B，AD1〉＝＝＝－，∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.]2．在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为()A．B．C．D．1B[过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，A1C＝(1,2，－3)，A1E＝(x，y，z－3)，BE＝(x－1，y，z)．因为，所以，解得，所以BE＝，所以点B到直线A1C的距离|BE|＝.]3．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为()1A．B．C．D．A[以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则C(0,3,0)，E(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,3,1)，D(0,0,0)，DC1＝(0,3,1)，D1E＝(1,1，－1)，D1C＝(0,3，－1)，设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则可得平面D1EC的一个法向量为n＝(2,1,3)，所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为sinθ＝cos〈DC1，n〉＝＝＝.]4．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为()A．B．C．D．C[以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0) E为AB的中点，∴D1E＝(1,1，－1)，AC＝(－1,2,0)，AD1＝(－1,0,1)设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，则，即，可得2可取n＝(2,1,2)∴点E到面ACD1的距离为d＝＝＝.]5.如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A．B．C．D．D[如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0,0,0)，B，F，C，OC＝，易知OC为平面BDF的一个法向量，由BC＝，FB＝，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝，所以tan〈n，OC〉＝.故二面角CBFD的正切值为.]二、填空题6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．[由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.]7．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离d＝，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________．[作出正四棱锥PA′B′C′D′，如图，3以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A′(1,1,0)，B′(－1,1,0)，P(0,0,2)，设平面PA′B′的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－D，所以平面PA′B′的方程为－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以点O到侧面的距离d＝＝.]8.如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD的夹角的正弦值为________．[以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，∴AD1＝(－1,0,1)，AE＝.设平面AEFD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则⇒∴x＝2y＝z.取y＝1，则n＝(2,1,2)．又平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∴cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.]三、解答题9.如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．4(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求面AMA1与面MA1N的夹角的正弦值．[解](1)连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，...