2017春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(D)A．akmB．akmC．2akmD．akm[解析]由图可知∠ACB＝120°，则AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，∴AB＝akm.故选D．2．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为(D)A．10kmB．kmC．10kmD．10km[解析]在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×(－)＝700，∴AC＝10，即A、C两地的距离为10km.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10nmlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时(C)A．5nmlieB．5nmlieC．10nmlieD．10nmlie[解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是＝10(nmlie/h)．4．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300m和500m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为(C)1A．500mB．600mC．700mD．800m[解析]根据题意画出图形如图．在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝3002＋5002－2×300×500×(－)＝490000，∴AB＝700(m)．5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m由此可得河宽为(精确到1m)(C)A．170mB．98mC．95mD．86m[解析]在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝＝40.设△ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽，∴h＝BC·sin∠CBA＝40×sin75°≈95(m)6．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min时，两船的距离是(B)A．kmB．kmC．kmD．km[解析]由题意知AM＝8×＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－)＝13，所以MN＝km.二、填空题7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30nmile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为10nmile.[解析]如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，2则BC⊥AD，∠DAB＝30°，∠DAC＝60°，则在Rt△ACD中，DC＝ACsin∠DAC＝30sin60°＝15nmile，AD＝ACcos∠DAC＝30cos60°＝15nmile，则在Rt△ADB中，DB＝ADtan∠DAB＝15tan30°＝5nmile，则BC＝DC－DB＝15－5＝10nmile.8．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是5.2km.(精确到0.1km)[解析]作出示意图如图．由题意知，则AB＝24×＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理＝，可得BS≈5.2(km)．三、解答题9.如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6000m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)[分析]由于∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∴∠ADB为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD为Rt△作为突破口可简化计算．[解析]在△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝＝CD．在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝＝CD，∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝＝CD＝1000(m)．10．一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的3方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗...
