解直角三角形及应用中考复习专题七考点一解直角三角形1．解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)．2．直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角关系:sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=.已知条件图形解法已知一直角边和一锐角(a,∠A)∠B=90°-∠A,c=,b=(或b=)已知斜边和一锐角(c,∠A)∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA(或b=)已知两直角边(a,b)c=,由tanA=求∠A,∠B=90°-∠A已知斜边和一直角边(c,a)b=,由sinA=求∠A,∠B=90°-∠A3.解直角三角形的类型及解法例1.如图,河的两岸l1与l2相互平行,A,B是l1上的两点,C,D是l2上的两点.某人在点A处测得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得∠DEB=60°,求C,D两点间的距离.解:过点D作l1的垂线,垂足为点F, ∠DEB=60°,∠DAB=30°,∴∠ADE=∠DEB-∠DAB=30°,∴△ADE为等腰三角形,∴DE=AE=20(米),在Rt△DEF中,EF=DE·cos60°=20×=10(米). DF⊥AF,∴∠DFB=90°,∴AC∥DF,由已知l1∥l2,∴CD∥AF,∴四边形ACDF为矩形,∴CD=AF=AE+EF=30(米),答:C,D两点间的距离为30米.考点二解直角三角形的应用1．仰角、俯角如图，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度(坡比)、坡角如图1，坡面的高度h和水平距离l的比叫做坡度(或坡比)，即i＝tanα＝hl，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．3．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达为北(南)偏东(西)多少度．如图，A点位于O点的北偏东60°方向．另外：东北方向是指_________北偏东45°例2芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁,大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图),图乙是从图甲引申出的平面图,假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°,拉索CD与水平桥面的夹角是60°,两拉索顶端的距离BC为2米,两拉索底端距离AD为20米,请求出立柱BH的长.(结果精确到0.1米,≈1.732)【答案】设DH=x米, ∠CDH=60°,∠H=90°,∴CH=DH·tan60°=x,∴BH=BC+CH=2+x, ∠A=30°,∴AH=+3x, AH=AD+DH,∴2+3x=20+x,解得x=10-,∴BH=2+-1≈16.3(米).答:立柱BH的长约为16.3米.归纳：在解双直角三角形组成图形时（1）若其中一个直角三角形可解，先解这个直角三角形，再利用两个直角三角形的公共特点，解另一个直角三角形（比如例1）（2）若两个直角三角形都不可解，可利用两个直角三角形的公共部分（公共边或公共角）列方程求解（比如例2）。例3在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.如图,现测得∠ABC=30°,∠BAC=15°,AC=200米,请计算A,B两个凉亭之间的距离.(结果精确到1米,参考数据:≈1.414,≈1.732)【答案】如图,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D, ∠B=30°,∴∠BAD=60°,又 ∠BAC=15°,∴∠CAD=45°,在Rt△ACD中, AC=200米,∴AD=AC·cos∠CAD=200×(米),∴AB=≈283(米),答:A,B两个凉亭之间的距离约为283米.归纳：在解斜三角形时，需要作垂线构造直角三角形求解，特别是注意利用30度、45度和60度这些特殊角。1在△ABC中，AB＝122，AC＝13，cosB＝22，则BC边长()A．7B．8C．8或17D．7或17图1图22．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为()A．(11－22)米B．(113－22)米C．(11－23)米D．(113－4)米【解析】如图，延长OD，BC相交于点P. ∠ODC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝11米，CD＝2米，∴在Rt△CPD中，DP＝DCtan30°＝23(米)，PC＝CDsin30°＝4(米)． ∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，∴△PDC∽△PBO，∴PDPB＝CDOB，∴PB＝PD·OBCD＝23×112＝113(米)，∴BC＝PB－PC＝(113－4)米．故选D．3...
