6距离的计算[A组基础巩固]1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在α内，则平面α外一点P(－2,1,4)到α的距离为()A．10B．3C.D.解析：PA＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，所以P到α的距离为||＝||＝.答案：D2．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A.B.C.D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)．设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，PQ＝＝＝，当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值.答案：C3．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.aB.aC.aD.a解析：A1C⊥平面AB1D1，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，BA＝(0，－a,0)，则两平面间的距离为d＝|BA·|＝＝a.答案：D4.如图，PABCD是正四棱锥，ABCDA1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则B1到平面PAD的距离为()1A．6B.C.D.解析：以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，由题意知，B1(2,0,0)，A(0,0,2)，D(0,2,2)，P(1，1,4).AD＝(0,2,0)，AP＝(1,1,2)，∴AD·n＝0，且AP·n＝0.∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2,0,1)． B1A＝(－2,0,2)，∴B1到平面PAD的距离d＝＝.答案：C5．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A．5B．8C.D.解析：解法一： B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E. BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离．在Rt△A1B1B中，B1E＝＝＝，∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.2解法二：以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5)．设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x≠0)．设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥BC，n⊥CD1，得n·BC＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，n·CD1＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，∴a＝0，b＝c，∴可取n＝(0,5,12)．又B1B＝(0,0，－5)，∴点B1到平面A1BCD1的距离为＝. B1C1∥平面A1BCD1，∴B1C1到平面A1BCD1的距离为.答案：C6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为__________．解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有GF＝(1，－1，－1)，GD1＝(0，－2,1)，所以＝＝，|GD1|＝，所以点D1到直线GF的距离为＝.答案：7．已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．解析：如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)， M(1,1，)，A(1,0,0)，∴AM＝(0,1，)，∴点M到平面ACD1的距离为d＝＝.又MN綊AD1，MN⃘平面ACD1.故MN∥平面ACD1，故MN到平面ACD1的距离也为d＝.答案：38．在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系．A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,1)，∴A1B＝(，1，－1)，A1C＝(0,2，－1)．设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，则即令y＝3，则n＝(，3,6)，n0＝.又AA1＝(0,0,1)，∴d＝|AA1·n0|＝.答案：9．已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，求点A到平面BDC1的距离．解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知B(1,1,0)，C1(0,1,1)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒⇒令y＝－1，则平面BDC1的法向量为n＝(1，－1,1)．取平面BDC1内的点D(0,0,0)，则DA＝(1,0,0)，∴点A到平面BDC1的距离为d＝|DA·|＝.10.如图，正方...
