课时跟踪训练(十)空间向量与垂直关系1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．不确定2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面π的法向量为n＝(－3,0，－6)，则()A．l∥πB．l⊥πC．lπD．l与π斜交3.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD等于()A．1∶2B．1∶1C．3∶1D．2∶14．已知AB�＝(1,5，－2)，BC�＝(3,1，z)，若AB�⊥BC�，BP�＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则向量BP�＝()A.B.C.D.5．已知a＝(1,2,3)，b＝(1,0,1)，c＝a－2b，d＝ma－b，若c⊥d，则m＝________.6．在直角坐标系O－xyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面EFD.18.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1.答案1．选B∵直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，∴a·b＝(1,2，－2)·(－2,3,2)＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0.∴a⊥b，∴l1⊥l2.2．选Ba＝－n，∴a∥n，∴l⊥π.3.选B建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a.则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)．设点F的坐标为(0，y,0)，则BF�＝(－1，y,0)，PE�＝.∵BF⊥PE，∴BF�·PE�＝0，解得y＝，则F点坐标为，∴F为AD中点，∴AF∶FD＝1∶1.4．选AAB�·BC�＝3＋5－2z＝0，故z＝4，由BP�·AB�＝x－1＋5y＋6＝0，且BP�·BC�＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.BP�＝.5．解析：∵c＝a－2b，∴c＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)，∵d＝ma－b，∴d＝m(1,2,3)－(1,0,1)＝(m－1,2m,3m－1)．又c⊥d，∴c·d＝0，即(－1,2,1)·(m－1,2m,3m－1)＝0，2即1－m＋4m＋3m－1＝0，∴m＝0.答案：06．解析：由OP⊥OQ，得OP�·OQ�＝0.即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.∴cosx＝0或cosx＝.∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.答案：或7．证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0，0，a)，E.∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心．故点G的坐标为，且PA�＝，EG�＝.∴PA�＝2EG�，则PA∥EG.又EG平面EDB且PA⃘平面EDB.∴PA∥平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，PB�＝(a，a，－a)，DE�＝，故PB�·DE�＝0＋－＝0.∴PB⊥DE，又EF⊥PB，且EF∩DE＝E，∴PB⊥平面EFD.8．证明：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)．∴1AA�＝(0,0，)，AD�＝(1,1,0)，BC�＝(－2,2,0)，1CC�＝(0，－1，)．设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由得令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)．由3得令y2＝1，则x2＝1，z2＝，∴n2＝.∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.4
