（江苏专版）高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量试题 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3讲平面向量高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.真题感悟1.(2015·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.解析 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.答案－32.(2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，，OA与OC的夹角为α，且tanα＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________.解析如图，设OD＝mOA，DC＝nOB，则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°，由tanα＝7，得cosα＝，又由余弦定理知即①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝或n＝，当n＝时，m＝10－5×＝－<0(不合题意，舍去)，当n＝时，m＝10－5×＝，故m＋n＝＋＝3.答案33.(2016·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________.解析设AB＝a，AC＝b，则BA·CA＝(－a)·(－b)＝a·b＝4.又 D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，则AD＝(AB＋AC)＝a＋b，AF＝AD＝a＋b，AE＝AD＝a＋b，BF＝BA＋AF＝－a＋a＋b＝－a＋b，CF＝CA＋AF＝－b＋a＋b＝a－b，则BF·CF＝·＝－a2－b2＋a·b＝－(a2＋b2)＋×4＝－1.可得a2＋b2＝.又BE＝BA＋AE＝－a＋a＋b＝－a＋b，CE＝CA＋AE＝－b＋a＋b＝a－b，则BE·CE＝·＝－(a2＋b2)＋a·b＝－×＋×4＝.答案4.(2017·江苏卷)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π].(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1) a∥b，∴3sinx＝－cosx，∴3sinx＋cosx＝0，即sin＝0. 0≤x≤π，∴≤x＋≤π，∴x＋＝π，∴x＝.(2)f(x)＝a·b＝3cosx－sinx＝－2sin. x∈[0，π]，∴x－∈，∴－≤sin≤1，∴－2≤f(x)≤3，当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－2.考点整合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是OP＝λ1OA＋λ2OB(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量OP与向量OA，OB的关系是OP＝(OA＋OB).(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔GA＋GB＋GC＝0⇔G.热点一平面向量的有关运算[命题角度1]平面向量的线性运算【例1－1】(1)(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则λ的值为________.(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE·AF＝1，则λ的值为________.解析(1)AB·AC＝3×2×cos60°＝3，AD＝AB＋AC，则AD·AE＝·(λAC－AB)＝AB·AC－AB2＋AC2＝×3－×32＋×22＝λ－5＝－4，解得λ＝.(2)法一如图，AE＝AB＋BE＝AB＋BC，AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝BC＋AB，所以AE·AF＝·＝AB·BC＋AB2＋BC2＝×2×2×cos120°＋＋＝1，解得λ＝2.法二建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1)，C(0，－1)，B(－，0)，D(，0).由BC＝3BE，DC＝λDF，可求点E，F的坐...