（江苏专用）高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第27课 正弦定理和余弦定理教师用书-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第27课正弦定理和余弦定理[最新考纲]内容要求ABC正弦定理、余弦定理及其应用√1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；c2＝a2＋b2－2ab·cos_C变形形式(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝cosA＝；cosB＝；cosC＝解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB．()(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．()(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或135°.()(4)在△ABC中，＝.()[解析](1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.(2)错误．由cosA＝＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．(3)错误．由b＜a知，B＜A.(4)正确．利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可知结论正确．[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是________．钝角三角形[由正弦定理，得＝sinA，＝sinB，＝sinC，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cosC＝＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]3．(2016·全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝12，cosA＝，则b＝________.3[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)．]4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.或[由正弦定理＝，代入可求得sinB＝，故B＝或B＝.]5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．2[由题意及余弦定理得cosA＝＝＝，解得c＝2，所以S＝bcsinA＝×4×2×sin60°＝2.]利用正、余弦定理解三角形在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.【导学号：62172148】[解]设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝3.又由正弦定理得sinB＝＝＝，由题设知0＜B＜，所以cosB＝＝＝.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝＝＝＝.[规律方法]1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．[变式训练1](1)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－c)sinA，则角B的大小为________．(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.(1)30°(2)[(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sinB＋sinC)＝(a－c)sinA得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝ac.又 cosB＝，∴cosB＝，∴B＝30°.(2)在△ABC中， cosA＝，cosC＝，∴sinA＝，sinC＝，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.又 ＝，∴b＝＝＝.]判断三角形的形状2(1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acosA＝bcosB，则△ABC的形状为________．(2)(2017·镇江期中)在△ABC中，若cosA＝，sinB＋sinC＝2sinA，则△ABC的形状为________．(1)等腰三角形或直角三角形(2)等边三角形[(1) acosA＝bcosB，由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．(2) sinB＋sinC＝2sinA，∴b＋c＝2a，又cosA＝，∴＝，∴b2＋c2－a2＝bc，又b＋c＝2a，则(b＋c)2－a2＝3bc＝3a2...