【成才之路】2015-2016学年高中数学第二章变化率与导数综合测试北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD．[答案]A[解析]根据导数的几何意义可得，k＝y′|x＝0＝e0＝1.2．已知使函数y＝x3＋ax2－a的导数为0的x值也使y值为0，则常数a的值为()A．0B．±3C．0或±3D．非以上答案[答案]C[解析]求出使y′＝0的值的集合，再逐一检验．y′＝3x2＋2ax.令y′＝0，得x＝0或x＝－A．由题设x＝0时，y＝0，故－a＝0，则a＝0.且知当x＝2，a＝－3或x＝－2，a＝3时，也成立．故选C．3．设f(x)为可导函数，且满足条件lim＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()A．－1B．－2C．1D．2[答案]B[解析]因为f(x)为可导函数，且lim＝－1，所以lim＝－1，所以lim＝－2，即f′(1)＝－2，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－2.4．运动方程为s＝＋2t2，则t＝2的速度为()A．4B．8C．10D．12[答案]B[解析]本题考查导数的物理意义，求导过程应注意对求导公式和求导法则的灵活应用． s＝＋2t2＝－＋2t2＝t－2－t－1＋2t2，∴s′＝－2t－3＋t－2＋4t.∴v＝－2×＋＋4×2＝8，故选B.5．函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图像是如图所示的一条直线，则y＝f(x)的图像的顶点在()A．第Ⅰ象限B．第Ⅱ象限C．第Ⅲ象限D．第Ⅳ象限[答案]A[解析]显然y＝f(x)为二次函数，设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则y＝f′(x)＝2ax＋b.由图像知a<0，b>0.又由已知函数的图像过原点，∴c＝0，1顶点为(，)，因而y＝f(x)的顶点在第Ⅰ象限．6．若函数y＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值()A．等于0B．等于1C．等于D．不存在[答案]C[解析]y′＝＝，当x＝x0时，y′＝，y＝.由题意，知y′＋y＝0，即ex0(x0－1)＋ex0·x0＝0，所以x0＝.7.(2014·邹城一中月考，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是()A．y＝2x－1B．y＝xC．y＝3x－2D．y＝－2x＋3[答案]A[解析] f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，①∴f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8＝2f(x)－x2－4x＋4.②将②代入①，得f(x)＝4f(x)－2x2－8x＋8－x2＋8x－8.∴f(x)＝x2，y′＝2x.∴y＝f(x)在(1，f(1))处的切线斜率为y′|x＝1＝2.∴函数y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.8.设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是()A．[－2,2]B．[，]C．[，2]D．[，2][答案]D[解析] f′(x)＝x2sinθ＋xcosθ，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)， θ∈[0，]，∴sin(θ＋)∈[，1]，∴f′(1)∈[，2]．故选D.9．若曲线xy＝a(a≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是()A．2a2B．a2C．2|a|D．|a|[答案]C[解析]设切点的坐标为(x0，y0)，曲线的方程即为y＝，y′＝－，故切线斜率为－，切线方程为y－＝－(x－x0)．令y＝0得x＝2x0，即切线与x轴的交点坐标为(2x0,0)；令x＝0得y＝，即切线与y轴的交点坐标为.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×|2x0|×＝2|a|.10．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于()A．－1或－B．－1或C．－或－D．－或7[答案]A2[解析]考查导数的应用，求曲线的切线方程问题．设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝.x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切得a＝－当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切得a＝－1，所以选A．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知曲线y＝x3＋，则在点P(2,3)的切线方程是________．[答案]4x－y－4＝0[解析]y′＝x2，当x＝2时，y′＝4.∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.12．球的半径从1增加到3时，球的体积平均膨胀率为____________．[答案][解析] Δy＝π×33－π×13＝，∴V′＝＝＝.13．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲...
