第2课时数列求和习题课A级：基础巩固练一、选择题1．设数列{an}满足：an＋1＝an＋，a20＝1，则a1＝()A.B.C.D.答案A解析由题可得：an＋1－an＝－，对n分别取正整数后进行叠加，可得an＋1－a1＝1－，又a20＝1，当n＝19时，有a20－a1＝1－，所以a1＝.2．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2020＝()A．1010B．－1010C．2020D．－2020答案A解析S2020＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2019＋2020)＝1010.3．已知数列{an}，a1＝1，且a1＋a2＋…＋an－1＝an－1(n≥2，n∈N*)，则的前n项和为()A．1－B．1－C.D.答案C解析 a1＋a2＋…＋an－1＝an－1，∴a1＋a2＋…＋an＝an＋1－1.两式两边分别相减得an＋1＝2an(n≥2)，即＝2.又 a1＝1，a2＝2，a2＝2a1，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an·an＋1＝22n－1，∴＝×n－1，∴是首项为，公比为的等比数列，它的前n项和为＝.故选C.4．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，bn＝，记数列{bn}的前n项和为Sn，则S40的值是()A.B.C．10D．11答案B解析因为2a＝a＋a(n≥2)，所以数列{a}为等差数列，且首项为1，公差为3，则a＝3n－2，即an＝，故bn＝＝(－)．则数列{bn}的前n项和为Sn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(－1)，故S40＝(－1)＝.二、填空题5．在等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.答案解析 a1＝3，a4＝81，∴3q3＝81，∴q＝3，an＝3×3n－1＝3n.∴bn＝log33n＝n，＝.1∴Sn＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋＝1－＝.6．已知函数f(x)＝，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＋f＋f＋…＋f＝________.答案解析由f(x)＝，得f(1)＝，且f＝＝，即f(x)＋f＝1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＋f＋f＋…＋f＝f(1)＋×2017＝＋2017＝.7．数列{an}是1，，，…，，其前n项和Sn＝________.答案2n－2＋解析 an＝1＋＋＋…＋＝2，∴Sn＝2＝2＝2n－2＋.三、解答题8．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.解(1)设{an}的公比为q.由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，解得q＝2或q＝－1(舍去)．因此{an}的通项公式为an＝2n.(2)由题意，得Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.9．在数列{an}中，若an＝求数列{an}的前n项和．解当n＝1时，S1＝a1＝1.当n≥2时，若a＝0，有an＝则Sn＝1＋(n－1)＝.若a＝1，有an＝则Sn＝1＋(n－1)＝.若a≠0且a≠1，则Sn＝1＋＋＋…＋＝1＋(n－1)＋(a＋a2＋…＋an－1)＝＋.综上所述，Sn＝10．设{an}是公差不为0的等差数列，Sn是其前n项和，已知S1与S7的等比中项为S3，且S1与S3的等差中项为3.(1)求数列{an}的通项an；(2)若等比数列{bn}满足b1＝S1，b2＝S3，求和Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn.解(1)因S1＝a1，S7＝7a1＋21d，故S7＝a1＋3d，因S3＝3a1＋3d，故S3＝a1＋d.已知S1与S7的等比中项为S3，故有等式：(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即d(d－a1)＝0，已知d≠0，故必有d＝a1.又S1与S3的等差中项是3，故2a1＋d＝3a1＝6，a1＝d＝2，于是得an＝2＋2(n－1)＝2n.(2)因b1＝S1＝a1＝2，b2＝S3＝a1＋d＝2a1＝4，故公比q＝＝2，所以bn＝2n，于是anbn＝22[n×2n]，故Tn＝2[1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n]，①2Tn＝2[1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋5×26＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1]，②①－②，得－Tn＝2(21＋22＋23＋24＋25＋…＋2n－n×2n＋1)＝2[2(2n－1)－n×2n＋1]．故Tn＝2n×2n＋1－4(2n－1)＝4n×2n－4×2n＋4＝4[(n－1)2n＋1]＝(n－1)2n＋2＋4.B级：能力提升练1．数列{an}的通项公式是an＝sin，设其前n项和为Sn，则S12的值为()A．0B.C．－D．1答案A解析a1＝sin＝1，a2＝sin＝－1，a3＝sin＝－1，a4＝sin＝1，同理，a5＝1，a6＝－1，a7＝－1，a8＝1，a9＝1，a10＝－1，a11＝－1，a12＝1，∴S12＝0.2．将各项均为正数的数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如表．记表中各行的第一个数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，各行的最后一个数a1，a3，a6，a10，…构成的数列为{cn}，第n行所有数的和为Sn(n＝1,2,3,4，…)．已...
