高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.3 椭圆的简单性质（1）课时作业 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP免费

2.1.3椭圆的简单性质（1）一、选择题1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A.(－1,0)，(1,0)B.(－6,0)，(6,0)C.(－，0)，(，0)D.(0，－)，(0，)解析：方程化为标准形式为x2＋＝1，其焦点在y轴上，由于a2＝6，∴a＝.∴长轴的端点坐标为(0，±)，故选D.答案：D2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：由题意可知两个椭圆的焦点都在x轴上，前者焦距2c＝2＝8，后者焦距2c＝2＝8.答案：D3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：由2a＝12，＝，解得a＝6，c＝2，∴b2＝62－22＝32.∵焦点在x轴上，∴椭圆的方程为＋＝1.答案：D4．[2014·山东省济南一中月考]已知椭圆＋＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A、B和C、D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝()A.2B.4C.4D.8解析：本题考查椭圆定义的应用．如图，设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1为平行四边形，∴|AF1|＝|FD|，同理|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故选D.答案：D二、填空题5．若椭圆的焦点在y轴上，长轴长为4，离心率e＝，则其标准方程为__________．解析：依题意，得a＝2，e＝＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆的标准方程为：＋x2＝1.答案：＋x2＝16．已知点P(3,4)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则以P为顶点的椭圆的内接矩形PABC的面积是________．1解析：由对称性知矩形PABC的长与宽分别为6,8，故S＝48.答案：487．[2014·江苏省南京师大附中月考]过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为_______．解析：本题主要考查椭圆的离心率．由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝2|PF1|.设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝x，又|F1F2|＝2c，所以x＝.即|PF1|＝，|PF2|＝.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以＋＝2a，即e＝＝.答案：三、解答题8．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．(2)离心率e＝，焦距为12.解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，∴b2＝a2－c2＝64.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.9．如右图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF2＝2F2B，AF1·AB＝，求椭圆的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中，c＝，设B(x，y)．由AF2＝2F2B⇔(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B(，－)．将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2.①又由AF1·AB＝(－c，－b)·(，－)＝⇒b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②2由①，②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆方程为＋＝1.3