13.4课题学习最短路径问题如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间,线段最短FEDCBA①②③(Ⅰ)(Ⅰ)两点在一条直线异侧两点在一条直线异侧问题1已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。P连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。根据：两点之间线段最短.探索新知探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·((ⅡⅡ))两点在一条直线两点在一条直线同同侧侧探索新知现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图)?BAlC追问1如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度等？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知B·lA·B′B′CC追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点C吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′B′CCC′C′在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′B′CCC′C′追问1证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′B′CCC′C′问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAll精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAll（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′B′CC运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．AABBCCPPQQ山山河岸河岸大桥大桥运用新知基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．AABBCCPPQQ山山河岸河岸大桥大桥问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）ABMNab作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸于点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN...
