9.4--空间角与空间距离VIP专享VIP免费

§9.4空间角与空间距离基础知识自主学习要点梳理1.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.（2）范围：.2π,0锐角（或直角）2.斜线与平面所成的角（1）定义：斜线与平面所成的角是斜线和它在平面内的所成的角.当直线和平面平行时，称直线和平面成角.当直线和平面垂直时，称直线和平面成角.（2）范围：.3.二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做，这条直线叫做，这两个半平面叫做.射影0°90°二面角二面角的棱二面角的面)2π,0(（2）二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做.(3)求作二面角的方法二面角的大小是用它的来度量的.找（或作）出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性.端点二面角的平面角平面角②三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角.③垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.④射影法：利用面积射影公式，其中S原为原斜面面积，S射为射影面积，θ为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来.（4）范围：［0，π］.S射=S原cosθ4.异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的的长度.5.求距离的常用方法与一般步骤（1）求距离的常用方法①直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解.②等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离.公垂线段（2）求距离的一般步骤“一作”：即先作出表示距离的线段（要符合作图规则，避免随意性）；“二证”：即证明所作的线段符合题目的要求为所求线段（证明要符合逻辑且推理正确）；“三计算”：即将所求线段放置在三角形中，解三角形求取或利用等积法求取.基础自测1.（2008·福建）如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）解析如图所示，连结A1C1， AA1⊥平面A1B1C1D1，31.D42.C32.B322.A∴∠AC1A1就是直线AC1与平面A1B1C1D1所成的角..31sin31221111221ACAAAAC，AC而答案D2.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离为（）A.B.2C.3D.4解析取BC中点E，连结AE、PE，由AE⊥BC知PE⊥BC，即PE为点P到BC的距离.D55553.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成角的大小是（）A.45°B.60°C.75°D.90°解析如图所示，△ACD1为正三角形，AD1∥BC1∥EF，直线EF与直线D1C所成的角为60°.B4.（2009·湖北）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°,∠ACC1=60°,∠BCC1=45°,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于（）解析如图，过点C1作C1O⊥平面ABC，连结CO，则CC1与平面ABC所成的角为∠C1CO.记∠C1CO=α，设∠OCB=β,由最小角定理知33.D23.C22.B21.Acos∠C1CB=cosα·cosβ,cos∠ACC1=cosα·cos(90°-β)..21sin.21sin.23cos.1cos60cos45cos.cos60cossin)90cos(,cos45coscos11222CCOC答案A5.线段AB长为2，两个端点A、B分别在一个直二面角的两个面上，AB和两个面所成的角分别是45°和30°，那么点A、B在这个二面角的棱上的射影C、D间的距离是（）解析如图， AC⊥β,BD⊥α,AB=2,∴∠ABC=30°,∠DAB=45°.∴BC=,BD=. BD⊥CD,22.D2.C21.B1.A32.1)2()3(2222BDCBCDA题型分类深度剖析题型一斜线与平面所成的角【例1】如图所示，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=a,BC=a，求OA和平面α所成的角.首先应确定A点在平面α内射影的位置,这样就可得...