第八章：平面解析几何VIP免费

五年高考真题分类汇编：平面解析几何一、填空题1．（2013·湖南高考理）设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．【解析】本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题．依题意及双曲线的对称性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.而|F1F2|＝2c，所以在△PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2，所以4a2＝16a2＋4c2－2·4a·2c·cos30°，即3a2－2ac＋c2＝0，所以a－c＝0，故双曲线C的离心率为.【答案】2．（2013·福建高考理）椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．【解析】本题考查椭圆的定义、离心率等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y＝(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.【答案】－13．（2013·辽宁高考理）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及离心率的求解．求解此题的关键是能够巧妙地应用过原点的直线与椭圆的两个交点关于原点对称来确定a值，试题也侧重考查了逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.【答案】4．（2013·安徽高考理）已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质，考查考生的转化与化归能力．法一：设直线y＝a与y轴交于点M，抛物线y＝x2上要存在C点，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有交点即可，也就是使|AM|≤|MO|，即≤a(a>0)，所以a≥1.法二：易知a>0，设C(m，m2)，由已知可令A(，a)，B(－，a)，则AC―→＝(m－，m2－a)，BC―→＝(m＋，m2－a)，因为AC―→⊥BC―→，所以m2－a＋m4－2am2＋a2＝0，可得(m2－a)(m2＋1－a)＝0.因为由题易知m2≠a，所以m2＝a－1≥0，故a∈[1，＋∞)．【答案】[1，＋∞)5．（2013·浙江高考理）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．【解析】本题考查抛物线方程、性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想及运算求解能力．法一：注意到|FQ|＝2，正好是抛物线通径的一半，所以点Q为通径的一个端点，其坐标为(1，±2)，这时A，B，Q三点重合，直线l的斜率为±1.法二：令直线l的方程为x＝ty－1，由得y2－4ty＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝4，x1＋x2＝4t2－2，所以xQ＝2t2－1，yQ＝2t，|FQ|2＝(xQ－1)2＋y＝4，代入解得，t＝±1或t＝0(舍去)，即直线l的斜率为±1.【答案】±16．（2013·陕西高考理）双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．【解析】本题考查双曲线的几何性质和方程思想的具体应用．⇒＝⇒m＝9.【答案】97．（2013·江西高考理）抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.【解析】本题考查抛物线、双曲线的标准方程及简单的几何性质，意在考查考生的数形结合思想以及转化与化归的能力．由x2＝2py(p>0)得焦点F，准线l为y＝－，所以可求得抛物线的准线与双曲线－＝1的交点A，B，所以|AB|＝，则|AF|＝|AB|＝，所以＝sin，即＝，解得p＝6.【答案】68．（...