12.4椭圆的性质VIP免费

椭圆内接三角形面积的最大值——探究结论椭圆内接三角形面积的最大值——探究结论复旦附中青浦分校魏述强复旦附中青浦分校魏述强探究结论11、如图，作出椭圆及其内接三角形，固定点B和C移动点A，容易发现，当BC边上的高最大、边BC平行于点A切线时，△ABC的面积最大。证明：如图，过点A分别作椭圆的切线l与边BC的平行线m.若直线m与椭圆相交，则取直线m的外侧椭圆弧上的点D，则△DBC的面积更大，所以只有当切线l与直线m重合时，△ABC的面积最大。探究结论22、如图，当椭圆在点A、B、C的切线分别与对边平行时，椭圆内接三角形的面积最大。探究结论33、当椭圆内接三角形面积最大时，该三角形一定包含椭圆的中心。证明：如图，若椭圆内接△ABC（不包含椭圆中心），则分别作点A和点B关于椭圆中心的对称点Aʹ和点Bʹ，则△AʹBʹC的面积更大，此时△AʹBʹC包含椭圆中心。探究结论44、对于椭圆内接△ABC，当三个顶点坐标分别为，，，△ABC面积最大。22221xyab(cos,sin)ab(cos(),sin())33ab22(cos(),sin())33ab(cos,sin)ab4、对于椭圆内接△ABC，当三个顶点坐标分别为，，，△ABC面积最大。22221xyab(cos(),sin())33ab22(cos(),sin())33ab证明：当椭圆内接三角形面积取得最大值时△ABC的三个顶点的离心角分别为α、β、γ（０≤α＜β＜γ≤π），其坐标分别为A、B、C。根据结论7，有直线AC的斜率等于椭圆在点B的切线的斜率（假设斜率都存在）。又过椭圆上一点的切线为，得化简得，进而得到离心角的差。根据结论9易知，，于是可得离心角的差都是。如图6-2，在椭圆分别作出离心角的差的三个点A、B、C，移动其中一个点，经测量△ABC的面积都是最大值，得证。22221xyab(cos(),sin())33ab22(cos(),sin())33ab22221xyab00(,)xy00221xxyyab(cos,sin)abcoscosAOBBOCCOA22cossinsinsincoscosabbbabaa232AOBBOCCOA2212516xy234、对于椭圆内接△ABC，当三个顶点坐标分别为，，，△ABC面积最大。22221xyab22(cos(),sin())33ab(cos(),sin())33ab(cos,sin)ab4、对于椭圆内接△ABC，当三个顶点坐标分别为，，，△ABC面积最大。22221xyab(cos(),sin())33ab22(cos(),sin())33ab证明：计算椭圆内接三角形面积的最大值