第一讲--四--1.柱坐标系VIP免费

返回返回返回返回返回返回柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作，其中.(ρ，θ，z)P(ρ，θ，z)ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R返回返回(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为.x＝ρcosθy＝ρsinθz＝z返回返回返回返回[例1]设点A的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．[思路点拨]由公式求出ρ，再由tanθ＝yx求θ.[解]由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，得ρ2＝x2＋y2，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2.tanθ＝yx＝3，又x>0，y>0，点在第一象限．∴θ＝π3，∴点A的柱坐标为(2，π3，5)．返回返回知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tanθ后，还要根据点M所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．返回返回1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝2，又tanθ＝1，x>0，y>0，点在第一象限．∴θ＝π4，∴点A的柱坐标为(2，π4，1)．返回返回2．点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．解：ρ＝x2＋y2＝02＋12＝1.∵x＝0，y＞0，∴θ＝π2.∴点M的柱坐标为(1，π2，2).返回返回[例2]已知点P的柱坐标为(4，π3，8)求它的直角坐标．[思路点拨]直接利用公式求解．[解]由变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z得：x＝4cosπ3＝2.y＝4sinπ3＝23.z＝8.∴点P的直角坐标为(2,23，8)．返回返回知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z即可．返回返回3．点N的柱坐标为(2，，3)，求它的直角坐标．解：由变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，得x＝ρcosθ＝2cosπ2＝0，y＝ρsinθ＝2·sinπ2＝2，故点N的直角坐标为(0,2,3)．返回返回4．已知点A的柱坐标为(1，π，2)，B的柱坐标为(2，π2，1)，求A、B两点间距离．解：由x＝ρcosθ得：x＝cosπ＝－1.由y＝ρsinθ得：y＝sinπ＝0.∴A点的直角坐标为(－1,0,2)．同理：B点的直角坐标为(0,2,1)．∴|AB|＝－1－02＋0－22＋2－12＝6.故A、B两点间的距离为6.