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第一讲--四--1.柱坐标系VIP免费

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返回返回返回返回返回返回柱坐标系(1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(z∈R)表示,这样,我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作,其中.(ρ,θ,z)P(ρ,θ,z)ρ≥0,0≤θ<2π,z∈R返回返回(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为.x=ρcosθy=ρsinθz=z返回返回返回返回[例1]设点A的直角坐标为(1,3,5),求它的柱坐标.[思路点拨]由公式求出ρ,再由tanθ=yx求θ.[解]由公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z,得ρ2=x2+y2,即ρ2=12+(3)2=4,∴ρ=2.tanθ=yx=3,又x>0,y>0,点在第一象限.∴θ=π3,∴点A的柱坐标为(2,π3,5).返回返回知点的直角坐标,确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ,尤其是θ,要注意求出tanθ后,还要根据点M所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π)).返回返回1.点A的直角坐标为(1,1,1),求它的柱坐标.解:ρ2=x2+y2=12+12=2,∴ρ=2,又tanθ=1,x>0,y>0,点在第一象限.∴θ=π4,∴点A的柱坐标为(2,π4,1).返回返回2.点M的直角坐标为(0,1,2),求它的柱坐标.解:ρ=x2+y2=02+12=1.∵x=0,y>0,∴θ=π2.∴点M的柱坐标为(1,π2,2).返回返回[例2]已知点P的柱坐标为(4,π3,8)求它的直角坐标.[思路点拨]直接利用公式求解.[解]由变换公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z得:x=4cosπ3=2.y=4sinπ3=23.z=8.∴点P的直角坐标为(2,23,8).返回返回知柱坐标,求直角坐标,利用变换公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z即可.返回返回3.点N的柱坐标为(2,,3),求它的直角坐标.解:由变换公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z,得x=ρcosθ=2cosπ2=0,y=ρsinθ=2·sinπ2=2,故点N的直角坐标为(0,2,3).返回返回4.已知点A的柱坐标为(1,π,2),B的柱坐标为(2,π2,1),求A、B两点间距离.解:由x=ρcosθ得:x=cosπ=-1.由y=ρsinθ得:y=sinπ=0.∴A点的直角坐标为(-1,0,2).同理:B点的直角坐标为(0,2,1).∴|AB|=-1-02+0-22+2-12=6.故A、B两点间的距离为6.

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