1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);一、二次函数的解析式2.顶点式:y=a(x-m)2+n(其中(m,n)为抛物线的顶点坐标);3.两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1,x2为抛物线与x轴两交点的横坐标);注:求二次函数的解析式,一般都采用待定系数法.做题时,要根据题设条件,合理地设出解析式.二、二次函数的图象有关知识:图象形状;对称轴;顶点坐标;与x轴交点坐标;截x轴线段长.三、二次函数的性质1.当a>0时,抛物线开口向上,函数在(-∞,-]上单调递减,在[-,+∞)上单调递增,当x=-时,f(x)取得最小值,为.2ab2ab2ab4a4ac-b22.当a<0时,抛物线开口向下,函数在(-∞,-]上单调递增,在[-,+∞)上单调递减,当x=-时,f(x)取得最大值,为.2ab2ab2ab4a4ac-b2四、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值2.若x0[m,n],则(1)当x0
n时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).五、不等式ax2+bx+c>0恒成立问题1.若x0=-∈[m,n],则f(x)min=f(x0)=,f(m),f(n)中的较大者即为f(x)在[m,n]上的最大值.2ab4a4ac-b21.ax2+bx+c>0在R上恒成立.a>0△=b2-4ac<0,a=b=0c>0.或ax2+bx+c<0在R上恒成立.a<0△=b2-4ac<0,a=b=0c<0.或2.f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)在[m,n]上恒成立.f(m)>0,-0.->n2ab或f(x)min>0(x∈[m,n])f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)在[m,n]上恒成立.f(n)<0.f(m)<01.方程f(x)=0有两正根六、二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根分布问题记f(x)=ax2+bx+c(a>0),△=b2-4ac≥0.x1+x2=->0abacx1x2=>0△=b2-4ac≥0f(0)>0.->02ab2.方程f(x)=0有两负根△=b2-4ac≥0.x1+x2=-<0abacx1x2=>0△=b2-4ac≥0f(0)>0.-<02ab4.方程f(x)=0的两实根都小于k△=b2-4ac≥0f(k)>0.-0.->k2ab7.方程f(x)=0的两实根都在区间(m,n)内f(m)>0△=b2-4ac≥0m<-0.8.方程f(x)=0的两实根中,有且只有一个在区间(m,n)内.f(m)f(n)<0,或f(m)=0m<-<,2abm+n2<-0f(n)<0f(p)<0f(q)>0.注涉及方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①f(x)图象的开口方向;②方程f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.③f(x)图象的对称轴与区间的关系;△>0△=0△<0判别式△=b2-4ac七、二次函数与方程、不等式的关系o(a>0)的图象二次函数y=ax2+bx+cxyx1x2x1=x2xyooxy(a>0)的解集ax2+bx+c<0{x|x10)的根有两相异实根x1,x2(x10)的解集Rax2+bx+c>0{x|xx2}{x|x≠-}2ab八、典型例题1.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解法一:利用二次函数的一般式.故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,=8.4a4ac-b2a=-4,b=4,c=7.解得解法二:利用二次函数的顶点式.设f(x)=a(x-m)2+n, f(2)=f(-1)=-1,∴抛物线的对称轴为直线x=,12∴m=.12又f(x)的最大值是8,∴n=8.∴f(x)=a(x-)2+8,12 f(2)=-1,∴a(2-)2+8=-1,12∴a=-4.故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.12解法三:利用二次函数的两根式.由已知f(x)+1=0的两根为2和-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),从而f(x)=a(x-2)(x+1)-1.即f(x)=ax2-ax-2a-1.又f(x)的最大值是8,4a4a(-2a-1)-a2∴=8,解得a=-4或a=0(舍去).故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7. f(x)在区间[0,2]上的最小值为3,∴可分情况讨论如下:2.已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值.解:由已知f(x)=4(x-)2-2a+2.a2a2(1)当≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上是增函数.∴f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)当0<<2,即0
