如图2延长0A与BC边相交于点D则OD二DCOB+BDOCBCBC=SBOD—OA平面向量奔驰定理与三角形四心已知0是AABC内的一点，ABOC,AAOC,AAOB的面积分别为S,S,S,求证:ABCS•0A+S•OB+S•0C=0ABCBDSSS-SS=—AABD=ABOD=AABDABOD=CDCSSS-SSAACDACODACDACODB图2•••OD=_-^OAS+SBC•--^OA=—SBOB+仝OCS+SS+SS+SBCBCBC•S•OA+S•OB+S•OC=0ABC推论:O是AABC内的一点，且x•加+y•OB+z•OC=0，则S・S・S=x:y:zABOC：ACOA：AAOB有此定理可得三角形四心向量式O是AABC的重心oS.S.S=1:1:1oOA+OB+OC二0ABOC：ACOA：AAOBO是AABC的内心oS:S:S=a:b:coa.OA+b.OB+c.OC=0ABOC:ACOA:AAOBO是AABC的外心oS:S:S=sin2A:sin2B:sin2CABOC:ACOA:AAOBosin2A•OA+sin2B.OB+sin2C.OC=0O是AABC的垂心oS:S:S=tanA:tanB:tanCABOC:ACOA:AAOBotanA•OA+tanB.OB+tanC.OC=0CDCD证明：如图O为三角形的垂心，tanA=——,tanB=——ntanA:tanB=DB:ADADDBS:S=DB:ADABOC•ACOA…S:StanA:tanBABOC:ACOA=同理得S:S=tanB:tanC,S:S=tanA:tanCACOA:AAOBABOC:AAOB…S:S:S=tanA:tanB:tanCABOC:ACOA:AAOB奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一A'4.2三角形“四心”的相关向量问题—•知识梳理:四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；（2）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；⑶内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；⑷外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。•与“重心”有关的向量问题1已知G是5ABC所在平面上的一点，若GA+G+G二0，则G是AABC的（）.A■重点B■外心C■内心D■垂心如图⑴.2已知0是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=0A+九（AB+AC）,九u（0,+a），则P的轨迹一定通过△ABC的（）.A•重点B•外心C•内心D•垂心【解析】由题意AP=^（AB+AC）,当九u（0，+a）时，由于九（AB+AC）表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过“ABC的重心，如图⑵.3.O是厶ABC所在平面内一点，动点P满足»二（亠|AB|SinB|AC|sinC（入€（0,+8））,则动点P的轨迹一定通过AABC的（）图OP=0A+九，九w（0,+Q,则动点P的轨迹一定通过△ABCA•内心B•重心C•外心D•垂心解：作出如图的图形AD丄BC,由于|正|sinB=|正|sinC二AD,「=QA|AB|sinB|AC|SinC\^\由加法法则知，P在三角形的中线上故动点P的轨迹一定通过AABC的重心故选：B.•与“垂心”有关的向量问题3P是“ABC所在平面上一点，若PA-PB=PB-PC=PC-PA,则P是AABC的（）A.重点B.外心C.内心D.垂心【解析】由~FA-PB=PB-W，得轴•(PA-PC)=0，即TB-CA=0，所以P丄CA.同理可证PC丄AB,PA丄BC••••P是AABC的垂心•如图⑶.的（）.A•重点B•外心C•内心D•垂心图⑶4已知0是平面上—定点，AB,BC是平面上不共线的三个点，动点P满足'ABAB\COSB解由题意AP二AB*ACcosBAC\cosC由ABAC+|AC|cosc•BC二AB•BCAC•BC,+ACcosCTBCHCB=0'所以人卩表示垂直于BC的向量，即卩点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过aABc的垂心，如图⑷.5若H为AABC所在平面内一点，且|HA2+|BC|2=|HB|2+1CA|2=|HC|2+1AB|2则点H是△ABC的（）A•重点B•外心C•内心D•垂心证明：・.・网2-|HB|2二|C^|2-|BC|2・•・（HA+HB）•BA=（CA+CB）•BA得（HA+HB—CA—CB）•BA=0即（HC+HC）•BA=0.•・AB丄HC同理AC丄HB,BC丄HA,故H是厶ABC的垂心•与“内心”有关的向量问题6已知I为AABC所在平面上的一点，且AB二c,AC=b,BC=a■若aIA+bIB+cIC=0,则I是△ABC的（）.A•重点B•外心C•内心D•垂心图⑸图⑹)=00(■/bAB+cAC=AC-AB+AB-AC=AC|-1AB-/、ABACA网丿'•••AI=bea+b+c(、ABAC阿芮r网与A"«-AC分别为AB和AC方向上的单位向量,A【解析】；二羽+AB,TC二TA+AC，贝ij由题意得(a+b+c)TA+bAB+cAC=0,图⑸图⑹)=00(图⑸图⑹)=00(BCIBCEAI&CA|,贝I」O是厶OP=0A(、+九+AC，柴(°'+Q，则动点P的轨迹—定通过AABC的()A•重点B•外心C•内心D•垂心二当XG(0,+8)时，AP表示ZBAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过AABC的内心，如图⑹.8若O在△ABC所在的平面内【解析】由题意得AP/、解：■■■向量的模等于1,1^1因而...
