一、相似真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图，已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；1(2)已知点F(0,三)，当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：由抛物线过点A(-1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x-4),将点C(0,2)代入，得:-4a=2,1解得：113则抛物线解析式为y=?(x+l)(x-4)=二x2+?x+2(2)解：由题意知点D坐标为(0,-2),设直线BD解析式为y=kx+b,将B(4,0)、D(0,-2)代入，得：1/k=-rlk#b=Oi21b=-2,解得：b=-2,1・・・直线BD解析式为•・•QM丄x轴，P(m,0),131二Q(m»-m2+m+2)、IVI(m,m-2),1311则QM=-2m2+2m+2-(-m-2)=--m2+m+4,1•・•F(0,2)、D(0,-2),5:.DF=2,•・•QMIIDF,15.•.当・2m2+m+4=2时，四边形DMQF是平行四边形,解得：m=-l或m=3,即m二・1或3时，四边形DMQF是平行四边形。•・•QMIIDF,・•・ZODB=ZQMB,分以下两种情况：①当ZDOB=ZMBQ=90°时，△DOB〜△MBQ,DOMB_21则亦一亦一2一2,•・•ZMBQ=90°,・••ZMBP+ZPBQ=90°,•・•ZMPB=ZBPQ=90°,・••ZMBP+ZBMP=90°,・••ZBMP=ZPBQ,・•△・MBQ〜△BPQ,BMBF2"1c3—-——nr+-ni+2:.BQPQ,g卩22,解得：rm=3、m2=4,当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，•••m=3，点Q的坐标为(3,2):②当ZBQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD-△BQIVT,此时m=-l,点Q的坐标为(-1,0):综上，点Q的坐标为(3,2)或(-1,0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.【解析】【分析】(1)A(-1,0)、B(4,0)是抛物线与x轴的交点，则可由抛物线的两点式，设解析为尸a(x+1)(x-4),代入C(0,2)即可求得a的值；(2)由QMIIDF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF,由D,F的坐标可求得DF的长13度；由P(m,0)可得Q(m,-细2+细+2),而M在直线BD上，由B,D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式，并当时，表示出点M的坐标，可用m表示出QM的长度。由QM=DF,列出关于m的方程，解之可得；(3)在ADOB和△MBQ中，由QMIIDF,可知ZODB=ZQMB,因为ZMBQ=90°要使△DOB和厶MBQ相似，则需要ZDOB=ZMBQ=90°或ZDOB=ZBQM=90°o2.(1)问题发现:如图1,在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为；(2)深入探究：如图2,在等腰三角形ABC中，BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN,使ZABUZAMN,AM=MN,连接CN,试探究ZABC与ZACN的数量关系，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3,在正方形ADBC中，AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN,若BC=10,CN=V^，试求EF的长.【答案】(1)NCIIAB(2)解：ZABUZACN,理由如下:•・•四边形ADBC,AMEF为正方形,・••ZABC=ZBAC=45°,ZMAN=45°,・••ZBAC-ZMAC=ZMAN-ZMAC即ZBAM=ZCAN,ABAM厂—=~二&・・・BCAN,AB_ACBM_Ab・・・G\AC&A5=cos45°=29AB_加1—■■・・・BC血=1且zABC=ZAMN,・•△・ABC〜△AMNAB_AC:.矿药，•・•AB=BC,1・・.ZBAC=2(180°-zABC),•・•AM=MN1.・•zMAN*(180°-ZAMN),•・•ZABC=ZAMN,・•・ZBAC=ZMAN,・••ZBAM=ZCAN,・••△ABM-AACN,・••ZABC=ZACN(3)解：如图3,连接AB,AN,・•・BM=2,3.正方形ABCDE,M分别是线长，交边BC于垂足为H,交边AB于点N.・・・CM=BC-BM=8,在RtAAMC,AM二丰曲二J加十0二2^41,.・•EF=AM=2A®・【解析】【解答】解：（1）NCIIAB,理由如下：•・•△ABC与厶MN是等边三角形，・・・AB二AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,・・•ZBAM=ZCAN,在厶ABM与厶ACN中，AB=AC{ZBAM=ZCANA^I二AN,.・•△ABM雯△ACN（SAS）,・・•ZB=ZACN=60°,•・•ZANC+ZACN+ZCAN=ZANC+60°+ZCAN=180°,・・・ZANC+ZMAN+ZBAM=ZANC+60°+ZCAN=ZBAN+ZANC=180°,・•・CNIIAB；【分析】（l）由题意用边角边易得△ABM雯△ACN,则可得ZB=ZACN=60°,所以ZBCN+ZB=ZBCA+ZACN+ZB=180°,根据平行线的判定即可求解；AB_AC（2...
