一数列概念与简单表示法VIP专享VIP免费

第一节数列的概念与简单表示法【最新考纲】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图表法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{ɑn}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项ɑn与它的前一项ɑn－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．6．ɑn与Sn的关系若数列{ɑn}的前n项和为Sn，通项公式为ɑn，则ɑn＝S1，（n＝1），Sn－Sn－1，（n≥2）.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(3)如果数列{ɑn}的前n项和为Sn，则对?n∈N*，都有ɑn＋1＝Sn＋1－Sn.()(4)若已知数列{ɑn}的递推公式为ɑn＋1＝12ɑn－1，且ɑ2＝1，则可以写出数列{ɑn}的任何一项．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．设数列{ɑn}的前n项和Sn＝n2，则ɑ8的值为()A．15B．16C．49D．64解析：当n＝8时，ɑ8＝S8－S7＝82－72＝15.答案：A3．对于数列{ɑn}，“ɑn＋1＞|ɑn|(n＝1，2，,)”是“{ɑn}为递增数列”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当ɑn＋1＞|ɑn|时， |ɑn|≥ɑn，∴ɑn＋1＞ɑn，∴{ɑn}是递增数列．当ɑn＝－1n时，数列{ɑn}是递增数列，但ɑn＋1＜|ɑn|.答案：B4．把1，3，6，10，15，21，,这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)．则第7个三角形数是()A．27B．28C．29D．30解析：由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案：B5．(2017·唐山调研)数列{ɑn}满足：ɑ1＝1，且当n≥2时，ɑn＝n－1nɑn－1，则ɑ5＝________．解析：因为ɑ1＝1，且当n≥2时，ɑn＝n－1nɑn－1，则ɑnɑn－1＝n－1n.所以ɑ5＝ɑ5ɑ4·ɑ4ɑ3·ɑ3ɑ2·ɑ2ɑ1·ɑ1＝45×34×23×12×1＝15.答案：15两种关系1．数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．2．ɑn＝Sn（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）.三种方法由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法是：1．ɑn＋1－ɑn＝f(n)型，采用叠加法．2.ɑn＋1ɑn＝f(n)型，采用叠乘法．3．ɑn＋1＝pɑn＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决．一、选择题1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A．1，12，13，14，,B．－1，－2，－3，－4，,C．－1，－12，－14，－18，,D．1，2，3，,，n解析：根据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C.答案：C2．若Sn为数列{ɑn}的前n项和，且Sn＝nn＋1，则1ɑ5等于()A.56B.65C.130D．30解析：当n≥2时，ɑn＝Sn－Sn－1＝nn＋1－n－1n＝1n（n＋1），所以1ɑ5＝5×6＝30.答案：D3．若数列{ɑn}的通项公式是ɑn＝(－1)n(3n－2)，则ɑ1＋ɑ2＋,＋ɑ10等于()A．15B．12C．－12D．－15解析：由题意知，ɑ1＋ɑ2＋,＋ɑ10＝－1＋4－7＋10＋,＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋,＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.答案：A4．(2017·广东六校一联)已知数列{ɑn}的前n项和Sn＝n2－2n，则ɑ2＋ɑ18＝()A．36B．35C．34D．33解析：当n≥2时，ɑn＝Sn－Sn－1＝2n－3，故ɑ2＋ɑ18＝(2×2－3)＋(2×18－3)＝34.答案：C6．数列{ɑn}满足ɑ1＝2，ɑn＝ɑn＋1－1ɑn＋1＋1，其前n项积为Tn，则T2017＝()A.12B．－12C．2D．－2解析：由ɑn＝ɑn＋1－1ɑn＋1＋1，得ɑn＋1＝1＋ɑn1－ɑn，而ɑ1＝2，则有ɑ2＝－3，ɑ3＝－12，ɑ4＝13，ɑ5＝2，故数列{ɑn}是以4为周期的周期数列，且ɑ1ɑ2ɑ3ɑ4＝1，所以T2017＝()ɑ1ɑ2ɑ3ɑ4504ɑ1＝1504×2＝2答案：C二、填空题7．...