一类轨迹问题的探求阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线VIP免费

专题：一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于2PAPBa，我们可以进一步研究：2,2,2PAPAPBaPAPBaaPB，各自的轨迹方程如何引例：已知点(,)Mxy与两定点(0,0),(3,0)OA的距离之比为12，那么点M的坐标应满足什么关系（必修2P103探究·拓展）探究已知动点M与两定点A、B的距离之比为(0)，那么点M的轨迹是什么背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一类题1：(1994,全国卷)已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0).求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.解：如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常数λ>0.——2分因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1.——4分设点M的坐标为(x，y)，则222221yxyx——5分整理得(λ2－1)(x2+y2)－4λ2x+(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程.——8分当λ=1时，方程化为x=45，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点(45，0)，当λ≠1时，方程化为(x－1222)2+y2=222131它表示圆，该圆圆心的坐标为(1222，0)，半径为13122——12分类题2：（2008，江苏）满足条件AB2，AC2BC的ABC的面积的最大值是______类题3：（2002，全国）已知点P到两定点)0,1(M、)0,1(N距离的比为2，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程解：设P的坐标为),(yx，由题意有2||||PNPM，即2222)1(2)1(yxyx，整理得01622xyx因为点N到PM的距离为1，2||MN所以30PMN，直线PM的斜率为33，直线PM的方程为)1(33xy将)1(33xy代入01622xyx整理得0142xx解得32x，32x则点P坐标为)31,32(或)31,32()31,32(或(23,13)，直线PN的方程为1xy或1xy．类题4：（2006，四川）已知两定点(2,0),A(1,0),B如果动点P满足条件2,PAPB则点P的轨迹所包围的图形的面积等于_________类题5：（2011，浙江）P,Q是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且(01MPMQ且），点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为S，设()Sf，试判断函数的单调性．引例：（2011，北京）曲线C是平面内与两个定点1(1,0)F和2(1,0)F的距离的积等于常数)1(2aa的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则12FPF的面积不大于212a其中正确命题的序号为_____________背景展示：在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线（CassiniOval），乔凡尼·多美尼科·卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年，他发现土星光环中间有条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名。卡西尼卵形线是1675年他在研究土星及其卫星的运行规律时发现的。探究：设两定点为12,FF，且122FF，动点P满足212(0)PFPFaa且为定值,取直线12FF作为x轴，12FF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设(,)Pxy，则22222(1)(1)xyxya整理得：222222()2()1xyxya解得：2222(1)4yxxa（211axa）于是曲线C的方程可化为2222(1)4yxxa（211axa）对于常数0a,可讨论如下六种情况：（1）当0a时，图像变为两个点12(1,0),(1,0)FF；（2）当01a时，图像分为两支封闭曲线，随着a的减小而分别向点12,FF收缩；（3）当1a时，图像成8字形自相交叉，称为双纽线；（4）当12a时，图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰；（5）当=2a时，与前种情况一样，但曲线中部变平；（6）当2a时，曲线中部凸起。北京高考题的背景即为本研究的4—6里研究的结论；学有余力的同学可作进一步思考：思考1：若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之比为定值的动点轨迹是什么思考2：若将“两定...