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一道导数压轴题突破的过程VIP免费

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一道导数压轴题突破的过程1问题缘起最近复习函数与导数,笔者给学生做了一道大市调研试卷的压轴题,效果不是特别理想,很多学生做对第一问,第二问就无从下手或半途而废了。在解导数综合题时,方法是否得当,常常是问题能否顺利解决的关键所在。在解题时学生一般从条件出发,观察试验,向前推进,但经常是阻碍重重,失去方向,只能望题兴叹。如何进行有效的引导,教会学生突破导数的压轴题呢?笔者在教学中发现,应在方法的突破和细节的处理上下功夫。以下笔者摘录教学片段和大家共同探讨。例题(20XX年南京市高考模拟试题)已知定义在实数集R上的偶函数)(xf的最小值为3,且当0x时,aexfx3)((a为常数).(1)求函数)(xf的解析式;(2)求最大的整数)1(mm,使得存在实数t,对任意的],1[mx,都有extxf3)(.本题难度接近高考,考查的是函数与导数中的典型方法和基本技能,第一问较简单,第二问和不等式结合且字母较多,再加上“存在”和“任意”的表述,难度较大。如何突破,教学过程如下。2教学片段2.1经历了思维的困境,对方法进行反思教师出示问题,请同学快速做答,因为第一问较容易,学生很快完成,但第二问明显卡壳,推进缓慢,教师巡视。师:(十五分钟后)大部分同学都有了自己的想法,但能成功解决的并不多,现在请大家谈谈自己的想法和做法。生1:第一问我很快得出结果,过程如下:(1)因为xey是增函数,所以当0x时,)(xf也是增函数.又因为)(xf是偶函数,所以afxf3)0()(min,又)(xf最小值是3,故0,33aa.当0x时,因为0x,所以xexfxf3)()(.综上知,0,30,3{)(xexexfxx师:很好,即使是压轴题,第一问我们都应该能很好地解决的。那第二问呢?生1:第二问我尝试特殊化,将端点代入etf3)1(得到一些不等关系,过程如下:(2)因为],1[mx时,有extxf3)(,故etf3)1(.当01t时,eet331,eet1,11t,01t;当01t时,同理可得,12t;从而02t.同样地,由emtmf3)(及2m,得mteeme.由t的存在性知,上述关于t的不等式在区间]0,2[上必有解.到这里我就不知道怎么解决了。师:巡视过程中我发现很多同学用这种方法,都是取两个端点代入,但大部分同学都和生1一样无法继续突破,那么就用这种方法,如何有效突破难点呢?请大家继续思考!2.2解法突破的过程2.2.1导数开路,零点帮忙,巧渡难关过了十分钟,有同学举手。生2:我也是用生1的方法,得到关于t的不等式mteeme在区间]0,2[上必有解.因为te在区间]0,2[上的最小值为2e,所以meeme2,即03meem①令),2[,)(3xxeexgx,则3')(eexgx,由0)('xg,得3x.当32x时,0)('xg,)(xg是减函数;当3x时,0)('xg,)(xg是增函数;故)(xg的最小值是02)3(3eg又0)21()2(2eeg,0)4()4(3eeg,而0)5()5(23eeg由此可见,方程0)(xg在区间),2[上有唯一解)5,4(0m,且当02mx时,0)(xg;当0mx时,0)(xg.即在),2[x时满足不等式①的最大实数解是0m.而当],1[,20mxt时,)(33)2(12xeeexxfx,在]2,1[x时,因为1112xxee,所以03)2(exxf;在],2(0mx时,0)(3)(3)(33)2(2323xgexeeexeeexxfxx.综上所述,m的最大整数值是4.师:很好!生2构造函数,然后利用导数求最值,结合零点定理逐步缩小并确定m的值。这种突破的方法在函数与导数的综合题中经常用到,希望同学们能熟练掌握!2.2.2先猜后证,正反结合,旗开得胜生3:我感觉整数m的值不会太大,所以我通过特殊值先猜出m的值为4,再进行证明,非常高兴我成功了!过程如下:满足条件的最大整数m为4.先证4m符合题意,取,2t当]2,1[x时,因为eexeeexfxx33,333)2(22,所以exxf3)2(;当]4,2(x时,)(3)(33)2(3)(323xeeexeeexxfextxfxx,令xeexgx3)(,则3')(eexgx,由0)('xg,得3x.当32x时,0)('xg,)(xg是减函数;当43x时,0)('xg,)(xg是增函数;故)(xg的最大值是)2(g和)4(g中的较大者.因为0)21()2(2eeg,0)4()4(3eeg,故0)(xg,即当]4,2(x时,03)(extxf.再证5m时不符合题意,因为不等式extxf3)(对1x成立,所以必有]0,2[t,因为0)5(3)5(315)5(244eeeeeeetft,所以etf15)5(,这说明5x时extxf3)(不成立.综上所述,m的最大整数值是4.师:生3的成功告诉我们不是每道题都是顺题而解,有时我们可以先猜后证,这样我们相当于先得到结果,这样就占据了主动...

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