********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星02数的整除性阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：①若a|b，b|c，则a|c；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|a，则[b，c]|a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星例题与求解【例1】在1，2，3，⋯，2000这2000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题)解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中()A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星【例3】已知整数13456ab能被198整除，求a，b的值．(江苏省竞赛试题)解题思想：198=2×9×11，整数13456ab能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，求出a，b的值．【例4】已知a，b，c都是整数，当代数式7a＋2b＋3c的值能被13整除时，那么代数式5a＋7b－22c的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5a＋7b－22c构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星【例5】如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数1a，2a，⋯，na，满足对任意一个正整数m，在1a，2a，⋯，na中都至少有一个为m的“魔术数”．(2013年全国初中数学竞赛试题)解题思想：不妨设7iiakt(i=1，2，3，⋯，n；t=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m的“魔术数”．根据题中条件，利用10kiam(k是m的位数)被7除所得余数，分析i的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点ka，跳动一次后到达1ka，已知ka，1ka满足|1ka－ka|=1，********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星我们把青蛙从1a开始，经n－1次跳动的位置依次记作nA：1a，2a，3a，⋯，na．⑴写出一个5A，使其150aa，且1a＋2a＋3a＋4a＋5a>0；⑵若1a=13，2000a=2012，求1000a的值；⑶对于整数n(n≥2)，如果存在一个nA能同时满足如下两个条件：①1a=0；②1a＋2a＋3a＋⋯＋na=0．求整数n(n≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴150aa．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a＋2a＋3a＋4a＋5a>0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若1a=13，2000a=2012，从1a经过1999步到2000a．不妨设向右跳了x步，向左跳了y步，则1999132012xyxy，解得19990xy可见，它一直向右跳，没有向左跳．⑶设nA同时满足两个条件：①1a=0；②1a＋2a＋3a＋⋯＋na=0．由于1a=0，故从原点出发，经过(k－1)步到达ka，假定这(k－1)步中，向右跳了kx步，向左跳了ky步，于是ka=kx－ky，kx＋ky=k－1，则1a＋2a＋3a＋⋯＋na=0＋(22xy)＋(33xy)＋⋯(nnxy)=2(1x＋2x＋⋯＋nx)－[(22xy)＋(33xy)＋⋯＋(nnxy)]=2(2x＋3x＋⋯＋nx)－12nn．由于1a＋2a＋3a＋⋯＋na=0，所以n(n－1)=4(2x＋3x＋⋯＋nx)．即4|n(n－1)．********灿若寒星竭诚为您提供...
