专题06有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有：1．利用运算律．2．以符代数．3．裂项相消．4．分解相约．5．巧用公式等．例题与求解【例1】已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则2002200123)()()1(-abxnmxabnmx++++++的值等于______________．（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．【例2】已知整数dcba,,,满足25abcd，且dcba，那么dcba等于（）A．0B．10C．2D．12（江苏省竞赛试题）解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．2【例3】计算：（1）;100321132112111（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2）199843277777；（江苏省泰州市奥校竞赛试题）（3）9019727185617424163015201941213652211．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算．【例4】nm,都是正整数，并且)11)(11()311)(311)(211)(211(mmA，)11)(11()311)(311)(211)(211(nnB．(1)证明：mmA21，nnB21；(2)若261BA，求m和n的值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）解题思路：（1）对题中已知式子进行变形．（2）把（1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解．3【例5】在数学活动中，小明为了求n2121212121432的值（结果用n表示），设计了如图①，所示的几何图形．（1）请你用这个几何图形求n2121212121432的值．（2）请你用图②，在设计一个能求n2121212121432的值的几何图形．（辽宁省大连市中考试题）解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键．【例6】记，令nSSSTnn21称nT为naaa,,21这列数的“理想数”，已知50021,,aaa的“理想数”为2004．求50021,,,8aaa的“理想数”．（安徽省中考试题）解题思路：根据题意可以理解为nS为各项和，nT为各项和的和乘以n1．能力训练A级1．若yx,互为相反数，nm,互为倒数．1=a，201220112)()(mnyxa的值为____________．（湖北省武汉市调考试题）2．若21)1(22)1(1)1(32M，则M=___________．（“希望杯”邀请赛试题）43．计算：（1）199919971971751531＝________________；（2）243431622825.0＝__________________．4．将1997减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，再减去余下的51，，依次类推，直至最后减去余下的19971，最后的答案是_______________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着－1，2，3，－4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是___________．（湖北省仙桃市中考试题）6．如果有理数cba,,满足关系式cba0，那么代数式32-cabacbc的值（）A．必为正数B．必为负数C．可正可负D．可能为0（江苏省竞赛试题）7．已知有理数zyx,,两两不相等，则zyx-y-，x-zz-y，y--xxz中负数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个或2个（重庆市竞赛试题）8．若a与)-(b互为相反数，则abba199799189822+＝（）A．0B．1C．－1D．1997（重庆市竞赛试题）9．如果()-12001=+ba，()1-2002=ba，则20032003ba+的值是（）A．2B．1C．0D．-1（“希望杯”邀请赛试题）510．若dcba,,,是互为不相等的整数，且9=abcd，则dcba+++等于（）A．0B．4C．8D．无法确定11．把511，3.7，216，2.9，4.6分别填在图中五个Ο内，再在每个□中填上和它相连的三个Ο中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中．找出一种填法，使△中的数尽可能小，并...
