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三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)二倍角sin(2α)=2sinα·cosα=2tan(α)/[1-tan^2(α)]cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)=[1-tan^2(α)]/[1+tan^2(α)]tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α)cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)tan3α=tanα×tan(60-α)tan(60+α)半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα半角变形sin^2(α/2)=(1-cosα)/2sin(a/2)=√[(1-cosα)/2]a/2在一、二象限=-√[(1-cosα)/2]a/2在三、四象限cos^2(α/2)=(1+cosα)/2cos(a/2)=√[(1+cosα)/2]a/2在一、四象限=-√[(1+cosα)/2]a/2在二、三象限tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=√[(1-cosα)/(1+cosα)]a/2在一、三象限=-√[(1-cosα)/(1+cosα)]a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4)=(tana+1)/(1-tana)tan(a-π/4)=(tana-1)/(1+tana)asinx+bcosx=[√(a^2+b^2)]{[a/√(a^2+b^2)]sinx+[b/√(a^2+b^2)]cosx}=[√(a^2+b^2)]sin(x+y)(辅助角公式)tany=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]积和化差sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)](注:留意最前面是负号)和差化积sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先,在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角,则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D由CD=asinB=bsinA(做另两边的垂线,同理)可证明正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有:AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosBAD+BD=c代入正弦定理,可得sinC=sin(180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA即在A,B均为锐角的情况下,可证明正弦和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期性,可证明该公式对任意角成立。于是有cos(A+B)=sin(90-A-B)=sin(90-A)cos(-B)+cos(90-A)sin(-B)=cosAcosB-sinAsinB由此易得以上全部公式

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