专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12m，且点B（m，n）在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1??+1??=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+12m-3=0（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1） 方程有两个不相等的实数根，例2.∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，例3.解得：m＞-14， 二次项系数≠0，∴m≠0，例4.∴当m＞-14且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；例5.（2） x1、x2为方程的两个不等实数根，例6.∴x1+x2=2??-1??，x1x2=??-2??，例7.∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（2??-1??）2-3(??-2)??=2，例8.解得：m1=√2+1，m2=-√2+1（舍去）；∴m=√2+1．例9.例10.解：（1） △=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0，例11.∴此方程有两个不相等的实数根；例12.（2） x=4??±√362=2m±3，例13.∴x1=2m-3，x2=2m+3，例14. 2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1，例15.∴m=5．例16.例17.解：（1） △=（4-3m）2-4m（2m-8），例18.=m2+8m+16=（m+4）2例19.又 m＞0∴（m+4）2＞0即△＞0例20.∴方程有两个不相等的实数根；例21.（2） 方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），例22.∴x1+x2=-4-3????，x1?x2=2??-8??，例23.n=x2-x1-12m，且点B（m，n）在x轴上，例24.∴x2-x1-12m=√(??1+??2)2-4??2??1-12m=√(4-3????)2-4×2??-8??-12m=0，例25.解得：m=-2，m=4，例26. m＞0，∴m=4．例27..解：（1） 方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，例28.∴△=[-2（m+1）]2-4（m2+5）=8m-16＞0，解得：m＞2．例29.（2） 原方程的两个实数根为x1、x2，例...
