§3.1曲面及其相关概念1.曲面及其参数表示曲面的坐标形式的参数方程:.曲面的向量形式的参数方程:,.简记为,.称为曲面的参数或曲纹坐标．也称是点的参数或曲纹坐标.例1(1)圆柱面cos，sin，z=z,.其中常数为截圆的半径．当,时,,,.于是是点的曲纹坐标.(2)球面coscos，cossin，sin，.这里,称为经度，称为纬度.是球面的半径．当,时,,,.于是是点的曲纹坐标.(3)旋转面把xz平面上一条曲线：x=，绕z轴旋转，得旋转面:x=，y=，．当,时,,,.于是是点的曲纹坐标.(4)连续函数的图象该曲面的参数方程为.和是参数(曲纹坐标).是点的曲纹坐标.坐标曲线曲线：,即.曲线：,即.一般地,通过每一点,有唯一一条曲线和唯一一条曲线.曲纹坐标网例2（1）圆柱面（例1（1））:cos，sin，z=z.（2）球面（例1（2））:coscos，cossin，sin.(3)旋转面（例1（3））:x=，y=，．(4)连续函数的图象（例1（4））2.光滑曲面曲面的切平面和法线在曲面上的(,)点处,u-曲线的切向量,v-曲线的切向量．定义曲面的正则点(正常点)P0(,):r(,)和r(,)不平行.正则曲面:处处是正则点的曲面.例在双叶双曲面的一叶(、和均为正的常数,,)上,经过点的曲线的方程为,该曲线在点的切向量;经过点的曲线的方程为,该曲线在点的切向量.由于在上的任何点处,和不平行,故上的点都是正则点,从而是正则曲面.定理3.1.1曲面在正则点的邻域中总可以有形如z=z(x,y)的参数表示．曲面Σ上一点P0处的切方向(方向):Σ上的经过P的曲线Γ在P0的切方向.曲面：r=r(u,v)上曲线Γ的(曲纹)坐标式参数方程----Γ:u=u(t)，v=v(t).Γ的向量式参数方程:r=r(u(t),v(t))=r(t).其切方向(t)=r+r.也可写为dr=rudu+rvdv.定理3.1.2曲面上正则点处的所有切向量都在经过该点的坐标曲线的切向量r和r所决定的平面上．称此平面为曲面在这一点的切平面．曲面上一点的一个切方向的表示:du:dv----表方向dr=rudu+rvdv,也表方向-dr=-rudu-rvdv.二者视为同一方向.例如,du:dv=(-2):3表方向dr=-2ru+3rv,也表方向-dr=2ru-3rv.二者视为同一方向.例环面(为常数,)上的点即点.该点处的切方向表示方向曲面：r=r(u,v)上在点(,)的切平面的方程：(m-r(,)，r(,)，r(,))=0，或写成坐标的形式：．特例对曲面：r={x，y，z(x,y)}，有r={1，0，}，r={0，1，}.所以曲面在点(,)的切平面的方程为：.法方向:垂直于切平面的方向.法线:经过曲面上的一点并平行于法方向的直线.法向量:n=rr.单位法向量:n=．曲面的法线方程:m=r(,)+r(,)r(,).若曲面的坐标形式的参数方程为,则法线方程为特例对曲面：r={x，y，z(x,y)}，有.例3求圆柱面r={}(为常数)上任意点的切平面和法线的方程．解因为r=，r={0,0,1}．所以，在任意点的切平面方程为，即.在任意点的法线方程为，即§3.2曲面上的双参数活动标架1.曲面的双参数活动标架定义曲面：r=r(u,v)的第一基本量E(u,v)=rr，F(u,v)=rr，G(u,v)=rr.令,.根据Lagrange恒等式，有(rr)(rr)=rr－(rr)=EG－F．于是．令由此得到曲面上的正交右手系标架[r(u,v)；(u,v)，e(u,v)，e(u,v)].由于它依赖于两个参数u和v,故称之为曲面的双参数活动标架.注1和e所张成的平面就是曲面在一点处的切平面．注2不要记e2的上述繁琐的表达式.要计算e2,首先计算e1和e3,然后用直接计算e2.注3r和r也可由和e线性表示.即r=，r=+e.例1给出正螺面r={}(b≠0为常数)上的一个双参数活动标架．解因为r={cosv,sinv,0}，r={-usinv,ucosv,b}，于是E=rr=1，F=rr=0，G=rr=．r={cosv,sinv,0}，e=(rr)={bsinv,-bcosv,u},={-usinv,ucosv,b}.2.外微分形式在平面上建立直角坐标系，点的坐标用(u,v)表示.du和dv是坐标的微分．用表示坐标微分之间的外乘运算.规定dudv=-dvdu,dudu=0,dvdv=0.设f(u,v)是定义在平面区域D上的函数，则f(u,v)dudv称为D上的以dudv为基底的二次外微分形式．设f(u,v)和g(u,v)都是定义在平面区域D上的函数.则f(u,v)du+g(u,v)dv称为D上以du和dv为基底的一次外微分形式，也称为发甫（Pfaff）形式．区域D上的函数f(u,v)称为0次外微分形式.对于两个一次外微分形式，,和的外乘规定为=.它是一个二次外微分形式.设都是一次外微分形式.则（为常数），，，．设D是平面上的一个区域，D上的两个Pfaff形式，和分别对应D上的两个向量场a...
