第六章：不等式§6.１不等式的概念和性质【知识概要】1．不等式的基本性质，，2．不等式的性质（1）；（2），；，（3）；，（4），；，；，；；（5）【基础训练】1．若，，则下列不等式成立的是（C）A．B．C．D．2．对于，①；②；③；④；其中成立的是（D）A．①③B．①④C．②③D．②④3．下列命题中为真命题的是（C）A．且，则；B．且，则；C．且，则；D．则4．若，则、、、中最小的是。【典型例题】例1．已知，，求证：证：，，，又，。例2．已知正数、满足，求的最小值。解：当且仅当即时取“”，例3．若，试比较与的大小。解：，，，例4．设且，，求的取值范围。解：，，设由待定系数得，，【思路方法小结】1．比较两实数的大小一般用作差法，步骤：作差—变形—判断符号。２．利用重要不等式“一正”，“二定”，“三等”缺一不可。３．判断不等式是否成立，常利用不等式的基本性质、函数的单调性和特值法。习题1．若和同时成立，则、必须同时满足的条件是（C）A．B．C．D．2．下列命题真命题的个数是（B）①若，，那么②已知、、都是正数并且，则③若、，则④的最大值是A．3个B．2个C．1个D．0个3．若，则下列不等式中正确的是（B）A．B．C．D．4．若，则（B）A．B．C．D．5．若，则的取值范围是。6．若，则的取值范围是。7．已知各项都大于0的等比数列，公比，则与的大小关系是。8．已知满足①；②；③；请将、、、按由小到大的次序排列，并证明。解：由③，由②，，又，由①。9．已知、且满足+=，求的最小值解：，，，当且仅当，即取“”10．已知、、、均为正数且，比较与的大小。解：，，，§6.2不等式的的证明【知识概要】1．比较法（1）差比法：应用范围：多项式、分式、对数式步骤：作差—变形—判断符号（1）商比法：应用范围：积、幂、指数步骤：作商—变形—判断商与1的大小2．综合法：从已知出发，利用已证明过的不等式为基础借助不等式的性质，推导出要求证明的不等式3．分析法：从需要证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件；应用范围：根式，其它方法难证明的。【基础训练】1．不等式①；②，其中恒成立的是（A）A．①B．②C．①②D．都不正确2．设，，则以下不等式中不恒成立的是（B）A．B．C．D．3．若，则与的大小关系是（D）A．B．C．D．与的取值有关4．与与的大小关系是。【典型例题】例1．已知、、、均为正实数，求证：。证明：当时，，，当时，，，例2．已知，求证：证明：，例3．已知，求证：证明：，，同理，例4．已知、且，求证：证明：要证，，∴原不等式成立【思想方法小结】1．作差法的关键在于变形，变形的方向往往是因式分解，有理化，配方等。2．用综合法常见的结论有（1），；（2）若、同号，则，若、异号，则；（3）若、，则；3．常常在分析的过程中结合综合法，形成分析综合法习题1．若，则（C）A．B．C．D．2．设、是满足的正数，则的最大值是（C）A．50B．2C．1+D．13．不等式①；②；③其中正确的是（B）A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设，，则（A）A．B．C．D．5．已知，则的最小值为19。6．设，，则的最小值为1。7．若且，则①；②；③中不成立的不等式序号是②③。8．设，求证；证明：左－右9．求证：；证明：要证，，上式成立；10．要使对所有正数、都成立，试问的最小值是多少？解：；；，的最小值是的最小值是§6.3不等式的证明（二）【知识概要】1．反证法：先假设结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理得到矛盾，从而得出所证结果一定成立；2．换元法：引进辅助元，把分散的条件联系起来，或把隐含的条件显示出来，或把条件与结论联系起来或转化为熟悉的问题；3．放缩法：利用不等式的传递性，作适当放大或缩小；4．判别式法：利用一元二次方程的差别式进行证明；5．构造法：构造函数用单调性；构造几何图形用数形结合；【基础训练】1．设、、，则，=，，则、、三数（C）A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于22．若，则不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（B）A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知，则的最小值是（C）A．B．C．D．4．在R上定义运算：，若不等式对任意实数成立，则...
